・三角形の拡大                          KS氏

 長年証明できない問題があります。みなさんの力で解いていただきたいと思います。

 復素数平面上に、同一直線上にない3点 α1、β1、γ1 が正の回転の順にあり、三角形
を作っているとする。

 そこで、α1 を γ1 を中心に正の方向へ角 arg(β1−γ1)/(α1−γ1)だけ動かした
点を α2 とする。

 つまり、式にすると、 α2=|α1−γ1|/|β1−γ1|・(β1−γ1)+γ1

 同様にして、β2=|β1−α1|/|γ1−α1|・(γ1−α1)+α1

        γ2=|γ1−β1|/|α1−β1|・(α1−β1)+β1

を得る。順次、この操作を繰り返し、α3β3γ3、・・・、αnβnγn を得る。

 n→∞ のとき、三角形 αnβnγn は正三角形になる。

 計算が複雑になり、お手上げです。エレガントな解答はないでしょうか。


(コメント) 問題の意味を把握するため、α1=1、β1=i、γ1=−1 として、α2、β2、γ2
      を作図してみた。
        



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