(１＋２＋３)²＝１³＋２³＋３³　(＝３６)　、(１＋２＋３＋４)²＝１³＋２³＋３³＋４³ (＝１００)

が成立することは一見不思議だが、一般に、

　　１＋２＋３＋･･･＋ｎ＝ｎ(ｎ＋１)/２　、１³＋２³＋３³＋・・・＋ｎ³＝(ｎ(ｎ＋１)/２)²

であることを理解すれば納得できる。しかし、これは連続する自然数特有の関係式とは言え
ず、
　　　(１＋２＋２＋４)²＝１³＋２³＋２³＋４³　(＝８１)

など、組合せ[1,2,2,4]と同じものを許すと成立することが起こる。
（上記の式で、3→2と置き直したものと見ることもできる。）

　そこで一般に、

　1≦s₂≦s₃≦･･･≦s_n-1≦n　なる自然数の組 [1，s₂，s₃，･･･，s_n-1，n]　において、関係式

　(1+s₂+s₃+･･･+s_n-1+n)²＝1³+s₂³+s₃³+･･･+s_n-1³+n³

が成立する組合せをなるだけ多く発見して欲しい。（意外と多く見つかる。）


　Seiichi　Manyama さんからのコメントです。（平成２８年１月２３日付け）

　とりあえず、n = 7までの例です。

[[1, 2]]
[[1, 2, 3]]
[[1, 2, 2, 4], [1, 2, 3, 4]]
[[1, 2, 2, 3, 5], [1, 2, 3, 4, 5]]
[[1, 2, 2, 3, 4, 6], [1, 2, 2, 4, 4, 6], [1, 2, 3, 4, 5, 6], [1, 4, 4, 4, 6, 6]]
[[1, 1, 3, 4, 4, 5, 7], [1, 1, 4, 5, 5, 5, 7], [1, 2, 2, 3, 3, 3, 7], [1, 2, 2, 3, 4, 5, 7], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7],
　[1, 3, 5, 5, 5, 7, 7], [1, 4, 4, 5, 6, 7, 7], [1, 5, 5, 6, 6, 7, 7]]

　また、以下の例を見つけました。

　n が偶数のとき、1 が 1個、n - 2 がn / 2個、n がn / 2 - 1個

（証明）　1+(n-2)³(n/2)+n³(n/2-1) = (n-1)⁴ = (1+(n-2)(n/2)+n(n/2-1))²　　（終）

　n が5以上の奇数のとき、1〜n から n - 1 を抜き、2 を入れる。

（証明）　(n(n+1)/2-(n-1)+2)² = n²(n+1)²/4-(n-1)³+2³　を示せばよい。

　　　ちなみに、(n⁴-2n³+13n²-12n+36)/4　となる。


　まとめると、n が3以上のとき、1〜n から n - 1 を抜き、2 を入れる。

例　1 2 3　、1 2 2 4　、1 2 2 3 5　、1 2 2 3 4 6　、1 2 2 3 4 5 7

　n が4以上の偶数のとき、1 が 1個、n - 2 がn / 2個、n がn / 2 - 1個

例　1 2 2 4　、1 4 4 4 6 6　、1 6 6 6 6 8 8 8


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１月２４日付け）

　他に今までに探し出せた組合せ。何か抜けたパターンがあるようで不安ですが・・・。


　Seiichi　Manyama さんからのコメントです。（平成２８年１月２４日付け）

（私が問題を間違って解釈していなければ、）n が12まででもたくさんあります。（→　出力結果）


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１月２４日付け）

　わー、こんなに沢山あるのですね。元々は連続する自然数では、

　(1+2+3+･･･+n)²=1³+2³+3³+･･･+n³

　(1⁵+2⁵+3⁵+･･･+n⁵)+(1⁷+2⁷+3⁷+･･･+n⁷)=2(1+2+3+･･･+n)⁴

　(1⁵+2⁵+3⁵+･･･+n⁵)+10(1⁷+2⁷+3⁷+･･･+n⁷)+5(1⁹+2⁹+3⁹+･･･+n⁹)=16(1+2+3+･･･+n)⁵

が成立するが、連続しないとどうなるだろう？の疑問でした。第１の等式でこんなに候補があ
るんなら、第２、第３の式でも成立させる組合せは十分存在できると見なせそうですね。

　プログラムの組み方にいまいち自信が持てないので、この３つの等式をすべて満たす組合
せ [1，s₂，s₃，･･･，s_n-1，n] があれば探して欲しいのですが・・・。


　Seiichi　Manyama さんからのコメントです。（平成２８年１月２４日付け）

　残念ながら予想に反して、1〜n までの分しかないようです。（→　出力結果）

　ちなみに、最初が1、最後がnという条件を外すと例外を見つけることができました。

　254803968*16= 134688 + 10134816*10 + 795076128*5

（→　出力結果）

　もう少し調べたが面白いものを見つけられなかった。（→　出力結果）

　第２の等式で面白いものを見つけました。（→　出力結果）


　Seiichi　Manyama さんからのコメントです。（平成２８年１月２５日付け）

　やはり、第１の等式に比べ、第２の等式、第３の等式の条件が厳しいせいか、３つとも満た
すものは見つかりそうではなさそうですね。