・グラスマン積                            ハナ氏

 v=(v_1,v_2,v_3)∈C3、w=(w_1,w_2,w_3)∈C3 と置き、C3の基底{b_1,b_2,b_3}の内の
いずれか2つとします。

 取り合えず、v=b_2、w=b_3 としておきます。

 この時、0≠x∈C3 がグラスマン積∧を用いて、

  x=c_1v∧c_2w (但し、c_1、c_2∈Cは、(c_1,c_2)≠(0,0)なるスカラー)

と書けるとき、v、wを正規直交化して、u_2、u_3 を得たとすると、
({u_1,u_2,u_3}はC3の正規直交基底)、

 x=c(u_2∧u_3) なる 0≠c∈Cが存在する事を示すにはどうすればいいでしょうか?

 因みに、グラスマン積とは、x=(x_1,x_2,x_3)、y=(y_1,y_2,y_3) とすると、

C3∋x∧y=( |x_1,y_1|  |x_1,y_1|  |x_2,y_2|
      |x_2,y_2|  |x_3,y_3|  |x_3,y_3|
 )

という3つ行列式の値をもつベクトルの事です。


 りらひいさんからのコメントです。(平成28年1月22日付け)

 グラスマン積の双線型性と交代性を自明としてもよいのなら、v、w をu_2、u_3の線型結合
で表して、 x=c_1v∧c_2w に代入して計算。あとは、係数が≠0になることを付け加えれば、
いけると思います。


 ハナさんからのコメントです。(平成28年1月23日付け)

 りらひいさん、ご回答誠に有難うございます。

 v=αu_2+βu_3、w=γu_2+δu_3 と表すと(但し、αδ-βγ≠0 と仮定しておく)

 x=c_1v∧c_2w=c_1(αu_2+βu_3)∧c_2(γu_2+δu_3)

 交代性と歪対称性より、

 x=c_1c_2αδu_2∧u_3-c_1c_2βγu_2∧u_3=(c_1c_2αδ-c_1c_2βγ)u_2∧u_3

 よって、 c=c_1c_2αδ-c_1c_2βγ と取れるのですね。



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