方程式　xy²＋xy＋x²−２y−１６６＝０　を満たす整数解(x，y)を求めてください。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２８年１月８日付け）

　何の工夫もない解き方ですが、　x²＋（y²＋y）ｘ−（２y＋１６６）＝０　より、

　　ｘ＝｛−（y²＋y）±√（（y²＋y）²＋４（２y＋１６６））｝/２

　（y²＋y）²＋４（２y＋１６６）＝（y²＋y）²　のとき、　ｙ＝−８３

　そうでないときは、　（y²＋y）²＋４（２y＋１６６）≧(y²＋y＋１)² … (1)

　　　または、　（y²＋y）²＋４（２y＋１６６）≦(y²＋y−１)² … (2) でなければならない。

　(1)から、　−１６≦ｙ≦１９

　(2)は、常に成り立たない。

-83、-16、-15、-14、…、19を順にyに代入してxを求めて、以下の12組の解を得る。

　　(-6806,-83), (-92,9), (-74,-9), (-26,-5), (-16,-3), (-14,1),(0,-83), (2,-9), (2,9), (6,-5),
　　(10,-3), (12,1)


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１月８日付け）

　作問の意図：　なるだけたくさんの整数解を有し、しかも以外に離れた解を含む式を構成
　　　　　　　　　してみようと、このxの２次式の判別式に相当するyの４次式をいじり回しやっ
　　　　　　　　　と最後の「166」の定数を決定した。(1000個ほどの候補からこれに決めた。）

　実は、これ以外にも芋が隠れているのではないかと不安でした。
（yを-10000000から10000000の範囲で検索してもyの候補が６種類しかなかったので、多分
この12組だろう位の感覚で出題していた。）

　らすかるさんは何の工夫もないとコメントされていますが、私にはとても鮮やかな攻め方に
見えます。恐れ入りました。


　空舟さんからのコメントです。（平成２８年１月８日付け）

　本質的に深く探れば、絞り込み方は同じですが、

　F(x)＝xy²＋xy＋x²−２y−１６６＝x²＋（y²＋y）ｘ−２y−１６６＝０　を x の２次方程式と
見なす視点があって、

　F(−１)＝−y²−３y−１６５＜０　、F(１３)＝１３y2＋１１y＋３＞０　より、−１＜ｘ＜１３　の
範囲に解を持つことと、yが整数ならば解と係数の関係より、２次方程式のうち片方が非整
数ならもう片方も非整数なので、x＝(0から12までの整数)を解にもつような整数yだけが候
補となる。

　ちょっとした考察で、x が偶数だということが分かるので、x＝0,2,4,6,8,10,12 をそれぞれ代
入して、y の整数解を探して、y＝-83,±9,-5,-3,1 を得ることができます。



　　以下、工事中！