が、１０個の点にすると必ず１組以上は距離が１より小さくなるものが出現するという。
この時、ある円の半径の最小値は？（ただし円周上の点は認めるものとする。）
果たして、この最小値は決定可能か？
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年１月１４日付け）
最小値は存在しないと思います。
「9点のうちどの2点の距離も1より大きくなる円」で、おそらく「2点間の距離の最小値」が最
大になるような配置が存在すると思いますが、そうすると、相似縮小して、「2点間の距離の
最小値」が1になるような円も存在するはずです。
すると、最小値は、「その円の半径より大きい実数のうちの最小値」ということになり、存在
しませんね。
「9点のうちどの2点の距離も1より大きくなる円」を「9点のうちどの2点の距離も1以上にな
る円」に変えれば存在すると思いますが。
追記： 「9点のうちどの2点の距離も1以上になる円」とした場合、半径の最小値はおそらく
1/{2sin(π/8)}=√(4+2√2)/2
だと思います。これは、円周上に等間隔に8個の点を打つと隣接2点間の距離が1になる円
で、9個目の点を中心付近に置けば条件を満たします。
これより少しでも半径が小さくなると円周上に7点しか置けなくなり、中心付近で点の置け
る範囲に2点を置くと、その2点間の距離が必ず1より小さくなります。
