・問題として成立するか                     GAI 氏

 ある大きさの円の中に任意の9個の点を打ったとき、どの2点の距離も1より大きくできる
が、10個の点にすると必ず1組以上は距離が1より小さくなるものが出現するという。

 この時、ある円の半径の最小値は?(ただし円周上の点は認めるものとする。)

 果たして、この最小値は決定可能か?


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年1月14日付け)

 最小値は存在しないと思います。

 「9点のうちどの2点の距離も1より大きくなる円」で、おそらく「2点間の距離の最小値」が最
大になるような配置が存在すると思いますが、そうすると、相似縮小して、「2点間の距離の
最小値」が1になるような円も存在するはずです。

 すると、最小値は、「その円の半径より大きい実数のうちの最小値」ということになり、存在
しませんね。

 「9点のうちどの2点の距離も1より大きくなる円」を「9点のうちどの2点の距離も1以上にな
る円」に変えれば存在すると思いますが。

追記: 「9点のうちどの2点の距離も1以上になる円」とした場合、半径の最小値はおそらく

    1/{2sin(π/8)}=√(4+2√2)/2

だと思います。これは、円周上に等間隔に8個の点を打つと隣接2点間の距離が1になる円
で、9個目の点を中心付近に置けば条件を満たします。

 これより少しでも半径が小さくなると円周上に7点しか置けなくなり、中心付近で点の置け
る範囲に2点を置くと、その2点間の距離が必ず1より小さくなります。



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