不可思議なイデアルのアイデアを用いると、日頃気づかない等式がゾロゾロと成立している
ことがわかる。

　以下、A、B、X、Y を実数とするとき、

(3A²±2AB + 22B²)(3X²±2XY + 22Y²)＝(3AX±(AY + BX) + 22BY)² + 65(AY - BX)²

(6A²±2AB + 11B²)(6X²±2XY + 11Y²)＝(6AX±(AY + B X) + 11BY)² + 65(AY - BX)²

(9A²±8AB + 9B²)(9X²±8XY + 9Y²)＝(9AX±4(AY + B X) + 9BY)² + 65(AY - BX)²

(5A² + 13B²)(5X² + 13Y²)＝(5AX + 13BY)² + 65(AY - BX)²

　一般に、s、t を任意の実数として、

　　　(sA² + tB²)(sX² + tY²)＝(sAX + tBY)² + st(AY - BX)²

の等式が成立する。最後のものは、

　　ラグランジュの等式　　(A² + B²)(X² + Y²)＝(AX + BY)² + (AY - BX)²

の拡張版であることがわかる。

　もっと使いこなせば、いろいろと面白いことができそうだ！