収束するような実数 r の値とその時の収束値を求めよ。
＃2006年の東大の問題にインスピレーションを受けて思い付きましたが、皆さんはどうお解
きになりますか。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年１２月１１日付け）
r=-0.4905････ 、収束値：1.47712････ → あくまでも数値的実験です。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年１２月１１日付け）
解いてみました。
[メモ計算] nが十分大きいときに a_n≒kn^(-r) だとすると、
a_(n+1) ≒ k(n+1)^(-r) ≒ kn^(-r)-krn^(-r-1) = a_n-krn^(-r-1)
なので、-krn^(-r-1) ≒ (1/k)n^r と考えると、 r=(-1/2)、k=√2 と予想される。
[メモ計算ここまで]
まず、a_n ≧ √(2n-1) を示す。
a_(n+1)^2 = a_n^2 + 2 + 1/a_n^2 ≧ a_n^2 + 2 より、a_n^2 ≧ a_1^2 + 2(n-1) = 2n-1 > 0
よって a_n ≧ √(2n-1)
次に、n≧2 のとき a_n ≦ √(2n-3) + 1 であることを示す。
a_n = (a_n-a_(n-1)) + (a_(n-1)-a_(n-2)) + …… + (a_2-a_1) + a_1
= 1/a_(n-1) + 1/a_(n-2) + …… 1/a_1 + 1
≦ 1/√(2n-3) +1/√(2n-5) + …… 1/√3 + 1 + 1
≦ ∫[x:1->n-1] 1/√(2x-1) dx + 2
= √(2n-3) + 1
よって、a_n ≦ √(2n-3) + 1
すなわち、n≧2 において、√(2n-1) ≦ a_n ≦ √(2n-3) + 1 なので、
√(2-1/n) ≦ a_n n^(-1/2) ≦ √(2-3/n) + 1/√n
よって、r=(-1/2) で、a_n n^r は収束し、その値は √2。
鱒さんからのコメントです。（平成２７年１２月１１日付け）
DD++さん正解です！僕は、別の方法でこの答えを見つけました…。
