このN＋２人が横一列に並ぶとき、大人２人の間に、子供が少なくともM人入っているような
並び方の総数を a(N，M) とする。
このとき、a(N，M) を N、M の式で表すとどうなるか？
（コメント） 「大人２人の間に、子供が少なくとも M 人入る」を否定すると、「大人２人の間に
入る子供はM−１人以下」なので、
a(N，０)＝（Ｎ＋２）！−０＝（Ｎ＋２）！
a(N，１)＝（Ｎ＋２）！−（Ｎ＋１）！・２！＝Ｎ（Ｎ＋１）！
a(N，２)＝（Ｎ＋２）！−Ｎ！・Ｎ・２−（Ｎ＋１）！・２！＝Ｎ（Ｎ−１）・Ｎ！
a(N，３)＝（Ｎ＋２）！−Ｎ！（Ｎ−１）・２−Ｎ！・Ｎ・２−（Ｎ＋１）！・２！＝（Ｎ−１）（Ｎ−２）・Ｎ！
・・・・・・・・・・・・・・・
何となく、 a(N，Ｍ)＝（Ｎ−Ｍ＋２）（Ｎ−Ｍ＋１）・Ｎ！ となりそうな．．．予感！
（確かめ）
a(N，４)＝（Ｎ＋２）！−Ｎ！（Ｎ−２）・２−Ｎ！（Ｎ−１）・２−Ｎ！・Ｎ・２−（Ｎ＋１）！・２！
＝（Ｎ−２）（Ｎ−３）・Ｎ！
となり、解法の方針から確実に成り立ちそうかな？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年１２月１１日付け）
a[N,M]=(N+2)!-M(2N-M+3)M!(N-M+1)!Binomial(N,M)/(N-M+1)=N!(N-M+1)(N-M+2) ?
一応
a[2,0]=24 、a[2,1]=12 、a[2,2]=4
a[3,0]=120 、a[3,1]=72 、a[3,2]=36 、a[3,3]=12
a[4,0]=720 、a[4,1]=480 、a[4,2]=288 、a[4,3]=144 、a[4,4]=48
a[5,0]=5040 、a[5,1]=3600 、a[5,2]=2400 、a[5,3]=1440 、a[5,4]=720 、a[5,5]=240
･･････････
が出現します。
