Σ_k=1〜n² ([k²/n²]+[n√k])  （ただし、[x]はxを越えない最大の整数とする。）

は、 数値を具体的に指定すれば計算できますが、一般に、ｎの式ではどう表される？

　とりあえず、ｎ=1〜19 について具体的に計算すると、

{1,2},{2,18},{3,84},{4,260},{5,630},{6,1302},{7,2408},{8,4104},{9,6570},{10,10010},{11,14652},{12,20748},
{13,28574},{14,38430},{15,50640},{16,65552},{17,83538},{18,104994},{19,130340},・・・


　DD++さんからのコメントです。（平成２７年１２月５日付け）

　y=x²/n² (x≧0) と y=n√x が互いに逆関数で、0＜x＜n² の範囲で、格子点を n-1 個通る

ことから、0≦x≦n²、0≦y≦n² の範囲を格子に区切って考えると、

　Σ_k=1〜n²-1 ([k²/n²]+[n√k]) = (n²)² - (2n²-1) + (n-1) = n⁴ - 2n² + n

　よって、答えは、n⁴+n というわけですね、なるほど。


（コメント）　参考図
　　　　　　　　　　　

　DD++さんの計算は、

　　(n²)² - n² - n² + 1 + (n-1) + n² + n²= n⁴ + n

と考えるのかな？

　冒頭の問題は、第10回　日本数学オリンピック予選問題（平成１２年）で、

　��_k=1¹⁰⁰　( [k²/100]＋[10√k] )

を求めよ。ただし、[ｘ] は、ｘ を超えない最大の整数のことである。

として出題されている。

　答えは、

　与式＝∫₀¹⁰⁰ （ｘ²/100＋10√ｘ）ｄｘ＋（ｙ＝ｘ²/100上の格子点の数）

　　　　＝100²＋10＝10010

　問題の意味が分かってしまえば、答えは、

　　（１辺がｎ²の正方形の面積）＋（y=x²/n²上の格子点の数）

　すなわち、　(n²)²＋ｎ＝ｎ⁴＋ｎ　と求められるんですね！