こんにちは。ずいぶん以前に投稿させてもらったことがあります。次の問題に出会いました。
興味深い点もあるかなと投稿させてもらいます。おそらく、いずれかの私立大学医学部の入
試の過去問と推測します。（確認はとれてません）

問題　y=x²-(7/3)x-14/3 上の2点Ｐ、Ｑ（ ｘ 座標が大きい方がＰ）は、y=3x に関して対称な
　　　位置にある。このとき、Ｐの ｘ 座標を求めよ。

　某「知恵袋」では、6つの連立方程式が「ベスト解法」とされているのですが．．．そうではな
いのでは？　と思っています。

(解)　P、Qの ｘ 座標を ｐ、ｑ （ｐ＞ｑ）　とすると、直線ＰＱの傾きは、　(ｐ+ｑ)−7/3　である。

　題意より、直線ＰＱは、y=3x と直交するので、その傾きは、-1/3 である。

　これより、ｐ+ｑ=2 となるので、線分ＰＱの中点のｘ座標は、（ｐ+ｑ)/2=１である。この中点は、
ｙ=3x 上にあるので、中点の座標は、（1，3）となる。

　よって、直線ＰＱの方程式は、y-3=-1/3(x-1)　すなわち、ｘ+3ｙ=10　となり、この式と与えら
れた放物線の式とを連立して、２交点Ｐ、Ｑの ｘ 座標は、4、-2 となり、ｐ=4　がわかる。（終）


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２７年１１月２８日付け）

　直線 ｙ=3ｘ に関する鏡映変換の変換式は、　Ｘ=（-4ｘ+3y）/5　、Ｙ=（3ｘ＋4ｙ）/5

　点（ｘ，ｙ）が放物線 y=x²-(7/3)x-14/3 上の点として、鏡映変換された点の座標は、

　　（Ｘ，Ｙ）=（（3x²-11x-14）/5，（4x²-(19/3)x-(56/3)）/5）

　この点（Ｘ，Ｙ）がまた、放物線 y=x²-(7/3)x-14/3 上にあるので、４次方程式を解いて、

　　ｘ=-2、4、(8 - √[106])/3 、(8 + √[106])/3

　ｘ=(8 - √[106])/3 、(8 + √[106])/3　は、放物線 y=x²-(7/3)x-14/3 と直線 ｙ=3ｘ の交点
の ｘ 座標なので不適。

　よって、ｘ=4　が求める解となる。

※  別解（黄色枠）も記しました。


　DD++さんからのコメントです。（平成２７年１１月２８日付け）

　解いてみました。

　傾き -1/3 で放物線と異なる2点で交わる直線を引くと、その2点のx座標の和は解と係数
の関係より 2 である。

　したがって、交点の中点が y=3x 上にあるとすれば、それは (1，3) 以外にあり得ない。

　y=x²-(7/3)x-14/3 と x+3y=10 を連立すると、x=4、-2 となるので、求めるx座標は、4

＃　某知恵袋は解法以前にそもそも間違ってるものがベストになってるのも少なくないです
　　から……。


　中年Ａさんからのコメントです。（平成２７年１１月２８日付け）

　有難うございました。像の変換、解と係数の関係・・・学びます。ありがとうございました。


（コメント）　中年Ａさんの解とDD++さんの解は言葉遣いが違うだけでほとんど同じかな！