DD++さんからのコメントです。
与えられた ε＞0 に対し、δ=ε/(1+ε) と取れば、|x-1|＜δ のとき、
x＞1-δ = 1/(1+ε)＞0 なので、
|1/x - 1| = δ/x ＜ {ε/(1+ε)}/{1/(1+ε)} = ε よって、示された。
（コメント） ε-δ論法って、懐かしいですね。私も大学１年の微積分学の講義で洗礼を受
けました。高校での「限りなく近づく」という曖昧な表現が不等式を用いてきちんと
表されることに感動した覚えがあります。投稿されたスズキさんは、大学１年生く
らいですかね？
ε-δ論法のコツは逆算ですね。DD++さんがさりげなく書いている「δ=ε/(1+ε) 」も逆
算から得られます。すなわち、
|1/ｘ - 1|＜εから、 1-ε＜1/ｘ＜1+ε
εは十分小さいので、1-ε＞０ としてよい。このとき、
1/(1+ε)＜ｘ＜1/(1-ε) より、 -ε/(1+ε)＜ｘ-1＜ε/(1-ε)
そこで、ε＞0 において、 ε/(1+ε)＜ε/(1-ε) なので、ε/(1＋ε)=δ とおくと、
|ｘ-1|＜δ ならば、|1/ｘ - 1|＜εが成り立つ。
この計算過程の裏側を見せないで、格好良く、ε-δ論法風に書けば、
任意のε（＞０）に対して、あるδ（=ε/(1＋ε)）が存在して、
|ｘ-1|＜δ ならば、|1/ｘ - 1|＜εが成り立つ
となるわけです。
