自然数は、特定の素数を特定の個数を組み合わせて構成されている。そこで、一般に、自
然数nを製品とし、これを作るために使用する素数を材料p（ただしpが大きくなるほど材料費
が嵩むとする）とイメージを膨らまし、n=(p₁)^e₁・(p₂)^e₂・･･･・(p_n)^e_n　（p₁、p₂、･･･、p_nは素数）
と素因数分解されたとき、

　n'=n(e₁/p₁+e₂/p₂+･･･+e_n/p_n)

なる数値n'を考えると、n→n'は製品nを作り出すための材料費の効率的使用の目安を計る
指標と考えられなくもない。

例　n=12=2²・3→n'=12(2/2+1/3)=16　、n=18=2・3²→n'=18(1/2+2/3)=21　、
　　n=30=2・3・5→n'=30(1/2+1/3+1/5)=31
　　n=p(素数）→n'=n(1/n)=1　となり、すべて素数は1が対応する。

　また、n'は必ず整数となり、特にn=1→n'=0 とするものとする。このとき、

(1)　n'=60 を満たすnは？

(2)　1≦n≦1000 の範囲で、n'が最大値になるnは？

(3)　一般に、n=n' を満たすnは？

(4)　1＜n＜10000 においてのΣGCD(n,n')の値は？（GCDは最大公約数）


　DD++さんからのコメントです。（平成２７年１０月５日付け）

　この式だとpが小さくなるほど材料費が嵩むのでは？以下、ある程度直感で回答（not解答）
します。

(1)について、　n=36,371,611,731,779,851,899

　直感的にはこれで過不足なく全部になるだろう感じがしますが、どうでしょうか。

(2)について、そこそこ大きくなりそうな候補は、n=512,768,864,972 あたり

　感覚的に一番大きくなりそうなのは、768

(3)について、pを素数として、n=p^p

　これは明らかですね。

(4)について、n→∞で平均=合計/n→∞となりそうで、感覚で見積もりづらいですね。

　合計/nlogn くらいで収束しそう。それでもどうにか多少の計算程度で予想するなら、平均は
(1+3/4*6+10/9*2+36/25)≒9.16より少し大きいくらいだと思うので、10万から12万くらいでしょ
うか？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年１０月５日付け）

　確かに「この式だとpが小さくなるほど材料費が嵩む」ですね。気持ち的に安い材料で作り
上げれば、材料費の切り詰めになると思ってこの”材料費の効率的使用”という表現になっ
てしまいました。

　(1)を満たすnは、上記に限ります。

　(2)について、ベスト３は、n=960->n'=3392　、n=768->n'=3328　、n=896->n'=3264

　ちなみに、　n=864-> 第 4位　、n=512-> 第11位

　(3)について、「これは明らか」がすごい。

　(4)について、理論的に出そうと頑張ったが、複雑過ぎたので、助手に手伝わせ、　173199

　これは、n'としてArithmetic derivative （算術微分）という概念があるらしく、

　(n*m)'=n'*m+n*m'　、(p^a)'=a*p^(a-1)　、(n/m)'=(n'*m-n*m')/m^2

なる関係式が成立し、正に微分を彷彿とさせる。しかし、(n+m)'≠n'+m' となるところが面白い。
（もちろん特殊のn、mでは成立する。）

　また、n'=n+1の関係が成立するn(30,858,1722,66198,2214408306,････)では、nの素因数を
pとすると、(n/p)-1は必ずpで割り切れる。

n=30=2・3・5　　30/2-1=14->2で割れる　、30/3-1=9->3で割れる　、30/5-1=5->5で割れる

n=858=2・3・11・13　　858/2-1=428->2で割れる　、858/3-1=285->3で割れる　、
　　　　　　　　　　　　　858/11-1=77->11で割れる　、858/13-1=65->13で割れる

n=1722=2・3・7・41　　1722/2-1=860->2で割れる　、1722/3-1=573->3で割れる　、
　　　　　　　　　　　　　1722/7-1=245->7で割れる　、1722/41-1=41->41で割れる

　････････････････


　DD++さんからのコメントです。（平成２７年１０月５日付け）

　 (2)について、思ったより素材の差が出ないんですね。ある程度2を押し込んだら、あとは
1000近くに調整する方を優先した方が強いわけですか。

　(4)について、最初平均を(1+3/4*6)(1+10/9*2)+36/25≒19.16と見積もったんですが、どう
考えても10000以上になる36の倍数の影響がめちゃくちゃ入っちゃっているので、じゃあいっ
そ36の倍数の影響をまるっと切り捨てて、とやったんですが最初の方が近かった……。

　「(n*m)'=n'*m+n*m'」について、pを素数として、(n*p)'=n'*p+n　になりそうなことはすぐに気
づきました。とすると、小さいpを使ってこの式の"+n"の価値を相対的に高めることがnを増
加させずにn'を増加させるコツのはず。というのが(2)であれらの数字を持ち出した根拠でし
た。多分1050までだったら迷いなく1024を答えていたでしょう。