・空間イメージの練習                       GAI 氏

 xyz軸で原点OとA(1,0,0)、B(0,1,0)であるとき、ベクトルOAOBのなす角は当然90度である
が、A、Bがそれぞれの位置で垂直上方へ t だけ移動した点をA'、B'とすると(即ちA'=(1,0,t)、
B'=(0,1,t))、OA'、OB'のなす角は t の値に伴って変化してしまう。

 しかし、私の頭の中では垂直に交わる壁に張り付く2つのベクトルは、何時までも垂直のま
まになる。(私だけか?)

 そこで、このイメージと現実のギャップを見るために、調査してみた。これによると、特に、

1=>60度(立方体の形状から認識できる。)
1.5〜1.6=>45度 (詳しくは1.55近く)
2.5=>30度近く(更に精度を上げると2.54近く)

 この変化の様子をグラフでここに示す技がないので、残念ながら見て貰えないのですが、と
ても滑らかに曲がりながら下降していき、まるでこの曲線の滑り台があれば楽しそうです。

 それでは、これを踏まえて、一辺が1の立方体の向かい合う頂角を結ぶ線分((0,0,0)と(1,1,1)
を結ぶ線)を含む平面でこの立方体を切断したとき、断面の面積の最小値は?


 S(H)さんからのコメントです。(平成27年9月29日付け)

 Sqrt[3/2] ...こんな感じでいいかな?


 らすかるさんからのコメントです。(平成27年9月30日付け)

 一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて、AGの中点をM、BCの中点をPとすると、

対称性から、BC⊥PM⊥AGなので、Pは辺BC上で直線AGに最も近い点である。

 よって、求める面積は、△APGの2倍である。

 AP=PG=/2、AG= から、△APG=/4 なので、答えは、/2



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