べて等しいぞろ目となる数である。このような数の中で、2015の倍数となる最小のnを求め
よ。
また、2000〜2015の中で、この様にぞろ目の倍数整数nを持てないものは何か？
らすかるさんからのコメントです。（平成２７年９月２３日付け）
計算間違いをしていなければ、
2000：なし
2001：333…3(308桁)
2002：222222(6桁)
2003：111…1(1001桁)
2004：444…4(498桁)
2005：555…5(200桁)
2006：222…2(464桁)
2007：333…3(222桁)
2008：888…8(50桁)
2009：111…1(210桁)
2010：なし
2011：111…1(670桁)
2012：444…4(502桁)
2013：111…1(60桁)
2014：222…2(234桁)
2015：555…5(30桁)
になると思います。ぞろ目倍数を持てないのは、10の倍数と16の倍数と25の倍数だけでしょ
うか。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年９月２３日付け）
最小値以外で同じ桁数なら次のものも存在。
2000：なし
2001：333…3(308桁) 、666.6 、999.9 もOK
2002：222222(6桁) 、444444 、666666 、888888もOK
2003：111…1(1001桁) 、222.2 、以下9まですべてOK
2004：444…4(498桁) 、888.8もOK
2005：555…5(200桁)
2006：222…2(464桁) 、444.4 、666.6 、888.8もOK
2007：333…3(222桁) 、666.6 、999.9 もOK
2008：888…8(50桁)
2009：111…1(210桁) →ここは、777.7(30桁)が存在しませんか？
2010：なし
2011：111…1(670桁) 、222.2 、以下9まですべてOK
2012：444…4(502桁) 、888.8もOK
2013：111…1(60桁) 、222.2 、以下9まですべてOK
2014：222…2(234桁) 、444.4 、666.6 、888.8もOK
2015：555…5(30桁)
ぞろ目倍数は、素数2、5の組合せだけで構成されるものは無理っぽいですね。
作り方のコツを掴んだので他のものも調査してみました。
12の倍数->444(3桁）＊勿論同桁では888もOKです。
123の倍数->33333(5桁)
1234の倍数->222･･･2(88桁)
12345の倍数->555･･･5(822桁)
123456の倍数->存在しない。
1234567の倍数->111･･･1(34020桁)
12345678の倍数->666･･･6(335616桁)
123456789の倍数->存在しない。
でした。
らすかるさんからのコメントです。（平成２７年９月２３日付け）
「2009」の場合について、安直に逆数の循環桁数から出していましたが、7以上の素数の2
乗を素因数に持つ場合は気を付けないとダメですね。
また、「123456789の倍数->存在しない。」について、333…3(6855006桁)が123456789で割
り切れると思います。10、16、25のいずれでも割り切れない数ならば必ずぞろ目倍数が存在
するのではないでしょうか。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年９月２３日付け）
LCM(3606,1901)=6855006 まで出しておき、タイプミスを犯して、
Denominator[(10^3855006-1)/9/123456789]を計算してしまっていました。
Denominator[(10^6855006-1)/9/123456789]なら3が出て、333･･･3(6855006桁)を確認で
きました。
また、詳しくは検討していませんが桁数を大きく取れば大抵の数は存在しそうですね。
らすかるさんからのコメントです。（平成２７年９月２３日付け）
nが10、16、25の倍数でなければ、必ずぞろ目倍数が存在することの証明
nが2でも5でも割り切れない場合は、1/nが純循環小数になり、1/n=a/999…99と表せるの
で、na=999…99となってぞろ目倍数が存在する。
n=5mまたはn=2mまたはn=4mまたはn=8m（mは2でも5でも割り切れない数）の場合、
m=3^p・t（tは3で割り切れない数）として、上と同様に、1/t=a/999…99となるので、
tは999…99の約数だが、tは3で割り切れないので、tは111…11の約数。
桁数を3^p倍にした111………11は、111…11・3^p の倍数になるから、m=3^p・tは、
111………11の約数。よって、
n=5mならば、nは、555………55の約数
n=2mならば、nは、222………22の約数
n=4mならば、nは、444………44の約数
n=8mならば、nは、888………88の約数
となり、n=5m、2m、4m、8m の場合もぞろ目倍数が存在する。
よって、nが10、16、25の倍数でなければ必ずぞろ目倍数が存在する。
（10,16,25の倍数のときぞろ目倍数が存在しないことの証明は簡単なので省略）
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月２４日付け）
なるほど、循環小数を使うってそういうことでしたか。私は存在証明を
「nが10と互いに素ならオイラーの定理より10^φ(n)-1≡0 (mod n)」
から考えていたので、最小性の証明につまずいてました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年９月２５日付け）
1000＜n＜2000 におけるn(10,16,25の倍数は除く)のぞろ目の倍数（表１、表２）を調査して、
数字毎に個数でソートしてみました。何か年号が不思議な関係で並んだようで面白かったで
す。
（ご自分の生れ年を探してみて下さい。同じグループの年と何か関係があるのかも・・・）
