x^(2^n)-x^2+(n/4)=(1/4)
は実数解をもたないことを示せ。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月１９日付け）
何か面白いことが起きそうな式だと思っていましたが、ようやくそれがわかりました。こうい
う意図ですね？
左辺 - 右辺
= x^(2^n) - x^2 + n/4 - 1/4
= x^{2^n} - x^{2^(n-1)} + x^{2^(n-1)} - x^{2^(n-2)} + … + x^8 - x^4 + x^4 - x^2 + (n-1)/4
= Σ[k=1..n-1] ( x^{2^(k+1)} - x^{2^k} ) + Σ[k=1..n-1] 1/4
= Σ[k=1..n-1] ( x^{2^(k+1)} - x^{2^k} + 1/4 )
= Σ[k=1..n-1] ( x^{2^k} - 1/2 )^2
x が実数とすると括弧内は全て実数であるので、これが 0 となるには括弧内が全て 0 で
あることが必要十分条件。
しかし、x^2 = x^4 = 1/2 となる実数 x は存在しないため、n-1＞1 のとき、この条件を満た
す x は存在しない。
よって、n＞2 のとき、この方程式に実数解は存在しない。
＃ これは大変面白い問題です。
