集めていたら次のようなことに気がついた。
f71[n_]:=1^n+5^n+10^n+24^n+28^n+42^n+47^n+51^n
g71[n_]:=2^n+3^n+12^n+21^n+31^n+40^n+49^n+50^n
と置いて、 Table[{f71[n],g71[n]},{n,1,8}]//ColumnForm と計算すると、
{208,208}
{8060,8060}
{347464,347464}
{15713636,15713636}
{730337608,730337608}
{34538543780,34538543780}
{1652662609624,1652662609624}
{79749860931716,79740174454916}
と、n=0、1、2、3、4、5、6、7 まで等式になる。また、
f72[n_]:=1^n+10^n+11^n+28^n+42^n+59^n+60^n+69^n
g72[n_]:=3^n+4^n+20^n+21^n+49^n+50^n+66^n+67^n
では、 Table[{f72[n],g72[n]},{n,1,8}]//ColumnForm から、
{280,280}
{14612,14612}
{848260,848260}
{51495476,51495476}
{3204718300,3204718300}
{202728390332,202728390332}
{12978426486340,12978426486340}
{838651180386596,838467137327396}
と、やはり、n=0、1、2、3、4、5、6、7 で等式が成立する。更に、
f73[n_]:=1^n+13^n+28^n+70^n+82^n+124^n+139^n+151^n
g73[n_]:=4^n+7^n+34^n+61^n+91^n+118^n+145^n+148^n
では、 Table[{f73[n],g73[n]},{n,1,8}]//ColumnForm
{608,608}
{70076,70076}
{8953712,8953712}
{1199473412,1199473412}
{165113501168,165113501168}
{23123818467476,23123818467476}
{3276429220606352,3276429220606352}
{468150771944932292,468087218970647492}
と、再び、n=0、1、2、3、4、5、6、7 で等式が成立する。
この様に８個ずつのグループ分けをしたとき、それぞれの組で７乗までの冪乗和が全て等
しくなる分け方は、上記の様に少なくとも３組も存在する。この３つの分け方はなにかしら、
大きな法則の一部として出現しているのか？この３つから第４番目の組合せは発見できる
のか？という疑問が湧いてきました。ヒントがありましたら知らせて下さい。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
１つ目と3つ目が別扱いなら、その間に入るべきこれも別扱いってことでいいんですかね。
f74[n_]:=1^n+9^n+19^n+47^n+55^n+83^n+93^n+101^n
g74[n_]:=3^n+5^n+23^n+41^n+61^n+79^n+97^n+99^n
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
Table[{f74[n],g74[n]},{n,1,8}]//ColumnForm から
{408,408}
{31416,31416}
{2684232,2684232}
{240491112,240491112}
{22141189368,22141189368}
{2073958140696,2073958140696}
{196549630270632,196549630270632}
{18784239636232392,18781759898171592}
で、やはり条件が成立しました。自分なりに他を探してみたら無限に作れるんですね。
f75[n_]:=1^n+8^n+24^n+51^n+54^n+82^n+83^n+97^n
g75[n_]:=2^n+6^n+27^n+43^n+64^n+73^n+89^n+96^n
Table[{f75[n],g75[n]},{n,1,8}]//ColumnForm から
{1134]= {400,400}
{29180,29180}
{2340280,2340280}
{196803908,196803908}
{17045965000,17045965000}
{1506501613940,1506501613940}
{135103806980920,135103806980920}
{12252046683171908,12250390295639108}
f76[n_]:=1^n+22^n+83^n+150^n+156^n+263^n+279^n+322^n
g76[n_]:=3^n+18^n+92^n+127^n+175^n+254^n+286^n+321^n
Table[{f76[n],g76[n]},{n,1,8}]//ColumnForm から
{1276,1276}
{304904,304904}
{81049186,81049186}
{22740127172,22740127172}
{6582697946626,6582697946626}
{1943356596403964,1943356596403964}
{581524946047139866,581524946047139866}
{175783958553444075812,175771437367954463012}
f77[n_]:=1^n+13^n+28^n+70^n+82^n+124^n+139^n+151^n
g77[n_]:=4^n+7^n+34^n+61^n+91^n+118^n+145^n+148^n
Table[{f77[n],g77[n]},{n,1,8}]//ColumnForm から
{608,608}
{70076,70076}
{8953712,8953712}
{1199473412,1199473412}
{165113501168,165113501168}
{23123818467476,23123818467476}
{3276429220606352,3276429220606352}
{468150771944932292,468087218970647492}
f78[n_]:=1^n+17^n+37^n+93^n+109^n+165^n+185^n+201^n
g78[n_]:=5^n+9^n+45^n+81^n+121^n+157^n+193^n+197^n
Table[{f78[n],g78[n]},{n,1,8}]//ColumnForm から
{808,808}
{124040,124040}
{21099304,21099304}
{3762713096,3762713096}
{689492256808,689492256808}
{128539502915720,128539502915720}
{24243964380793384,24243964380793384}
{4611175649606166536,4610540836662601736}
などなど･･･。
