８個の球はすべて両隣と接するようにしたい。
（１） ｒの値を求めよ。
（２） 半径ｒの球の体積を求めよ。
全然わからなくて困っています…・。余弦でしょうか・・・？教えていただけないでしょうか？
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月８日付け）
大阪大学の古い問題ですね。８つの小球の中心 A、B、C、D、E、F、G、H を順に結ぶと、
一辺２ｒの正八角形ができます。その中心をOとし、辺ABの中点をMとすると、二等辺三角
形の性質から、 OM⊥AB、∠AOM＝∠BOM＝π/8 、AM＝BM＝ｒ です。
よって、 OA＝ｒ/sin(π/8)
ここで、 sin2(π/8)＝（1−cos(π/4))/2＝（2−
)/4＝大球の中心をP、Qとすると、OA⊥PQ なので、三平方の定理より、AP2＝OA2＋OP2
ここに、OP＝1、AP＝1＋ｒ、OA＝2ｒ/√（2−
) を代入して、(1＋ｒ)2＝4ｒ2/（2−
)＋1これを解いて、 ｒ＝6−4
体積は、球の体積公式にｒを代入して計算するだけなので、省略。
コルムさんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
上記の問題の補足なのですが、円型の半径ｒの球が縦に並ぶという事実と、８つの球の並
べ方はたくさんあるという事実は、この問題のどこで使われるのでしょうか？
８つの球の並べ方は、いろいろあるのでしょうか？
また、円型の半径ｒの球が縦に真っ直ぐになるときは、数珠型の球を切り離して、真っ直ぐ
になるのでしょうか？見方によって変わるというのは、そういうことなのでしょうか？
わかりにくければ、無視していただいて構いません。教えていただけないでしょうか？
（コメント） 「半径１の球が２つ接している。この２つの球いずれにも接するように半径ｒの球
を８個おき、８個の球はすべて両隣と接するようにしたい。」ということから、DD++
さんの解答で完全だと思うのですが．．．。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
「 円型の半径rの球が縦に並ぶという事実」について、大きな球を横に隣接させた場合の
話ということですかね？（個人的には縦に隣接させた方が考えやすい気がしていますが）
最後に△OAPが直角三角形であるというところに用いています。
P-ABCDEFGHとQ-ABCDEFGHがどちらも正八角錐になっています。
「８つの球の並べ方は、たくさんあるという事実」について、実質１通りしかないはずです。
大球2つを接するように置いたとして、小球8個は条件を満たそうと思えば数珠状に接点の
周囲を８等分するしかありませんから。
コルムさんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
はい。大きな球を横に隣接した場合です。なぜ、円型の半径ｒを８個縦に並べたら、△OAP
が正八角錐なのでしょうか？横でもいいような気がするのですが・・・・。
分かりにくいですが、教えていただけたら幸いです。無理でしたら、無視していただいて構
いません。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
まず、いろいろ読み違いをされているようですので、落ち着いて読み返してみてください。
コルムさんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
８個の球を縦に並べる意味がわからなくなってしまいました。どういうことでしょうか？
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
縦にというか、縦向きの円周上に並べる感じです。最初の球を横に並べた場合は、ですが。
コルムさんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
つまり、縦に半径１の球を並べた場合、横向きの円周上にならべる感じになって、正八角
錐がまた、できて、２パターン（実質上１パターン）あるということでしょうか？
小球が、８個縦にまっすぐ並べるという事実は、問題のどこで使われるか？でした。教えて
いただけると幸いです。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
そういうことです。番号付けはしていないので、逆回転２パターンにはなりませんが。
（8個の球を少しだけ回すような違いはあります。計算は何も変わりませんけど）
「小球が、８個縦にまっすぐ並べるという事実」について、まっすぐは並びませんよ？
コルムさんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
８個の球を少しだ回すという違いは、あるのでしょうか？ちなみに、一辺が２ｒの正八角形
は、円に内接していますよね・・・？
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月９日付け）
はい、内接します。ですから、そのあたりから求めることも可能ですね。回転させる違いと
いうのは、内接八角形をとるときの向きの違いですね。
コルムさんからのコメントです。（平成２７年９月１０日付け）
内接八角形の向きの違いというのは、つまり、８つの球を回して、八角形の向きが変わる
ということですね…？そこのところを、詳しく教えていただけないでしょうか…？
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月１０日付け）
一番手前の地点にちょうど球をおくか、ちょうど隙間を置くか、中途半端なところを持って
くるかは自由ですよね。
コルムさんからのコメントです。（平成２７年９月１０日付け）
球の手前と、隙間は、どこでしょうか？８つの球のことでしょうか？
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月１０日付け）
はい。
コルムさんからのコメントです。（平成２７年９月１０日付け）
球の手前というのは、８個の球を手前に置く場合ですよね・・・？それで、隙間に置くという
のは、問題の図ですよね…？中途半端というのは、どういう感じなのでしょうか・・？
正八角形ではなく、八角形なのですね・・・？問題の図とは、関係なくですか・・・・？
