bの最小多項式は、終結式 [resultant(b-(a^4+2a^2+3),a^5-2,a)] を使って
b5-15b4+90b3-310b2+485b-267=0
と分かります。そこで、逆に、この方程式を与えられた時に、b=a4+2a2+3 を復元する手順
はあるでしょうか？(bがaの整数係数多項式で表されることを既知としても良い)
例として、ちょっと数値を変えた別の数の最小多項式
c5+20c4+180c3+1380c2+11720c+51222=0
から、c =（aの整数係数多項式） を求められますか？
（直接計算しようとすると高次の連立方程式で困難そうでした）
DD++さんからのコメントです。（平成２７年８月２４日付け）
c=-2a4-2a3+4a2-3a-4 ですかね？手計算じゃさすがに無理すぎたので、WolframAlpha先
生の助けを借りながらでしたが、なんとか総当りせずに答えが出ました。
-2・2^(4/5)-2・2^(3/5)+4・2^(2/5)-3・2^(1/5)-4 の最小多項式を計算してもらうと、最初の
式になるので多分合ってるのでしょう。問題はこの方法が果たして一般的に使用できるのか
どうかですが．．．。
とりあえず解きながら残してたメモを以下に記載します。説明とかする気が微塵もないもの
ですが、何をしようとしているかはなんとなく察していただけるかと。
---解く間に残したメモ---
c5+20c4+180c3+1380c2+11720c+51222=0 において、c=d-4とおくと、
d5+20d3+500d2+5480d+18998=0 さらに、d=ae とおくと、e5+10a3e3+250a2e2+2740ae+9499=0
resultant(e5+10a3e3+250a2e2+2740ae+9499,a5-2,a)=(e5+15e4+50e3+70e2+2525e+9499)×[20次式]
e5+15e4+50e3+70e2+2525e+9499=0 を採用、e=f-3 とおくと、f5-40f3+160f2+2240f+2176=0
f=ag とおくと、g5-20a3g3+80a2g2+1120ag+1088=0
resultant(g5-20a3g3+80a2g2+1120ag+1088,a5-2,a)=(g5-20g4+160g3-560g2+480g+1088)×[20次式]
g5-20g4+160g3-560g2+480g+1088=0 を採用、g=h+4 とおくと、h5+80h2-160h+192=0
h=ai とおくと、i5+40a2i2-80ai+96=0
resultant(i5+40a2i2-80ai+96,a5-2,a)=(i5+10i4+40i3+80i2+80i+96)×[20次式]
i5+10i4+40i3+80i2+80i+96=0 を採用、i=j-2 とおくと、j5+64=0
よって、j=-2a から遡って、c=-2a4-2a3+4a2-3a-4
空舟さんからのコメントです。（平成２７年１２月１９日付け）
冒頭で、次のような課題を提示しました。（FGαβ問題とでも呼びましょうか）
「ある既知の方程式 F(x)=0 の解αに対して、αの未知の多項式 β=g(α) があって、β
が満たす方程式 G(y)=0 が分かっている時、そのような多項式g(α)を求めることができる
か」
α=2^(1/5) の時に、DD++さんが良い方法を見つけてくれました。
F(x)を違うパターンにすると、同様の方法はうまくいかなさそうでした。また問題として出題
してみます。
[1] F(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0 の解 α=exp(2πi/7) に対して、
G(y)=y^6-4y^5+44y^4-50y^3+39y^2+12y+1
[2] F(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1=0 の解 α=2cos(2πi/11) に対して、
G(x)=y^5+8y^4-3y^3-18y^2-10y-1
DD++さんからのコメントです。（平成２７年１２月２０日付け）
あれができるのは、最小多項式が x^n=k の形のときだけでしたね。最小多項式の解の和、
二乗和、三乗和、……、n-1 乗和 が全て0になることを用いているので。
今回の場合は難しそう。
（追記） 空舟さんから、上記の問題の解決に出会ったことの紹介をいただきました。
（平成２８年２月１９日付け）
数理解析研究所講究録第722 巻1990 年17-20
元吉文男 著 (電子技術総合研究所)
巡回群をガロア群に持つ5 次方程式の判別とその解法
に出会いました。
G(x)=x5+x4-4x3-3x2+3x+1 、F(y)=y5+8y4-3y3-18y2-10y-1
resultant(F(x-a),G(a),a),factor;
5次の因子を5つ得るので、その1つをrとして、r：x5+9x4-16x3-53x2+37x+23
divide(divide(F(x-a),r,x)[2], G(a),a)[2]・・・4次式
divide(divide(r,%,x)[2], G(a),a)[2]・・・3次式
divide(divide(r,%,x)[2], G(a),a)[2]・・・2次式
s:divide(divide(r,%,x)[2], G(a),a)[2]・・・1次式
s:num(s); g:diff(s,x);
sにおけるxの1次の係数g(a)の逆元を求めて、sに掛ける。
N:5;
res: makelist(0,N)$
ans: sum( c[k]*a^k , k,0,N-1 )$
tes: divide (g*ans-1,G(a),a)[2]$
for i:1 thru N do
[res[i]:ev(tes,a=0), tes:diff(tes,a)]$
divide(ev(ans,solve(res))*s,G(a),a)[2],factor;
により、x+a4-2a2-2a を得ます。これに、aを足したものが F(x)の因子となる、つまり、
x=-a4-2a2+a が F(x)の解の1つであることを得ます。同ページの他の問題にも有効でした。
