(a+b)²-a²-b²=2ab、(a+b+c)³-a³-b³-c³=3(a+b)(b+c)(c+a)　（見た目がきれい！）　が成り
立つので、もしかして

(a+b+c+d)⁴-a⁴-b⁴-c⁴-d⁴=4(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)-････

(a+b+c+d+e)⁵-a⁵-b⁵-c⁵-d⁵-e⁵=5(a+b+c+d)(a+b+c+e)(a+b+d+e)(a+c+d+e)(b+c+d+e)-･･･

のような式が成立しないかと探したら、次のようになりました。

(a+b+c+d)⁴-a⁴-b⁴-c⁴-d⁴=4(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)-2s₂²

(a+b+c+d+e)⁵-a⁵-b⁵-c⁵-d⁵-e⁵
=5(a+b+c+d)(a+b+c+e)(a+b+d+e)(a+c+d+e)(b+c+d+e)-5s2(s1*s2-s3)

(a+b+c+d+e+f)⁶-a⁶-b⁶-c⁶-d⁶-e⁶-f⁶
=6(a+b+c+d+e)(a+b+c+d+f)(a+b+c+e+f)(a+b+d+e+f)(a+c+d+e+f)(b+c+d+e+f)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-9s₁²s₂²+2s₂³+12s₁s₂s₃-3s₃²-6s₂s₄

　なお、s₁、s₂、s₃、s₄は使用する変数での基本対称式で、1、2、3、4個の変数の組合せの
ものを表す。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２７年８月１１日付け）

　上から順に

(a+b)²-a²-b²=2s₂

(a+b+c)³-a³-b³-c³=3s₁s₂-3s₃

(a+b+c+d)⁴-a⁴-b⁴-c⁴-d⁴=4s₁²s₂-2s₂²-4s₁s₃+4s₄

(a+b+c+d+e)⁵-a⁵-b⁵-c⁵-d⁵-e⁵=5s₁³s₂-5s₁s₂²-5s₁²s₃+5s₂s₃+5s₁s₄-5s₅

(a+b+c+d+e+f)⁶-a⁶-b⁶-c⁶-d⁶-e⁶-f⁶
=6s₁⁴s₂-9s₁²s₂²+2s₂³-6s₁³s₃+12s₁s₂s₃-3s₃²+6s₁²s₄-6s₂s₄-6s₁s₅+6s₆