・対称式もどき                          GAI 氏

 (a+b)2-a2-b2=2ab、(a+b+c)3-a3-b3-c3=3(a+b)(b+c)(c+a) (見た目がきれい!) が成り
立つので、もしかして

(a+b+c+d)4-a4-b4-c4-d4=4(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)-・・・・

(a+b+c+d+e)5-a5-b5-c5-d5-e5=5(a+b+c+d)(a+b+c+e)(a+b+d+e)(a+c+d+e)(b+c+d+e)-・・・

のような式が成立しないかと探したら、次のようになりました。

(a+b+c+d)4-a4-b4-c4-d4=4(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)-2s22

(a+b+c+d+e)5-a5-b5-c5-d5-e5
=5(a+b+c+d)(a+b+c+e)(a+b+d+e)(a+c+d+e)(b+c+d+e)-5s2(s1*s2-s3)

(a+b+c+d+e+f)6-a6-b6-c6-d6-e6-f6
=6(a+b+c+d+e)(a+b+c+d+f)(a+b+c+e+f)(a+b+d+e+f)(a+c+d+e+f)(b+c+d+e+f)
                               -9s12s22+2s23+12s1s2s3-3s32-6s2s4

 なお、s1、s2、s3、s4は使用する変数での基本対称式で、1、2、3、4個の変数の組合せの
ものを表す。


 S(H)さんからのコメントです。(平成27年8月11日付け)

 上から順に

(a+b)2-a2-b2=2s2

(a+b+c)3-a3-b3-c3=3s1s2-3s3

(a+b+c+d)4-a4-b4-c4-d4=4s12s2-2s22-4s1s3+4s4

(a+b+c+d+e)5-a5-b5-c5-d5-e5=5s13s2-5s1s22-5s12s3+5s2s3+5s1s4-5s5

(a+b+c+d+e+f)6-a6-b6-c6-d6-e6-f6
=6s14s2-9s12s22+2s23-6s13s3+12s1s2s3-3s32+6s12s4-6s2s4-6s1s5+6s6



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