平成２７年７月３１日付けのＳ（Ｈ）さんの投稿で、「灘中の数学学習法」（ＮＨＫ出版）の問題

　ＡＢ＝３，ＢＣ＝４の長方形ＡＢＣＤの各頂点までの距離の平方の和が３４である点Ｐ
の軌跡を求めよ。（答は結果のみ）

について、Ｓ（Ｈ）さんは、座標を使えば簡単だが、それではつまらない、座標を使わないで解
いて欲しいという。


　DD++さんからのコメントです。（平成２７年７月３１日付け）

　私は賛同しかねますね。だって、座標を使う方が難しいでしょう？

　対角線の交点をOとすると、中線定理より、

　　34=PA²+PB²+PC²+PD²=2（PO²+AO²）+2（PO²+BO²）=4PO²+25

　よって、PO=3/2　となり、点Ｐの軌跡は、点Ｏを中心とし半径3/2の円である。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２７年７月３１日付け）

　「ＡＢ＝３，ＢＣ＝４の長方形ＡＢＣＤの各頂点までの距離の平方の和が３４である点Ｐ」を素
直に改竄し、直方体（cuboid）の問題：

  AB=3、BC=4、AA’=2 の直方体ABCD、A’B’C’D’の各頂点までの距離の平方の
和がｋである点Pの軌跡を求めよ。(結果のみは不可)

　これを、座標を使わないで解いて下さい。


　DD++さんからのコメントです。（平成２７年７月３１日付け）

　4本の対角線 AC’、BD’、CA’、DB’は、長さ√29で、これらはそれぞれの中点で交わるの

で、この点をOとする。中線定理より、

k = PA²+PC’²+PB²+PD’²+PC²+PA’²+PD²+PB’²
　= 2（PO²+AO²）+2（PO²+BO²）+2（PO²+ＣO²）+2（PO²+ＤO²）= 8PO² + 58

　よって、　PO² = (k-58)/8

　したがって、求める軌跡は、

　　k＞58 のとき、点Oを中心とする半径 √(2k-116)/4 の球面

　　k=58 のとき、点O

　　k＜58 のとき、実数空間内には軌跡は存在しない