難しいことを易しく、易しいことを深く、深いことを面白く、
面白いことを真面目に、真面目なことを愉快に、
そして、愉快なことはあくまで愉快に
は名言ですね！数学に真摯に向き合うときの姿勢そのものですね。
Ｓ(Ｈ)さんから、
問題 ｘ を１１で割ると余りは２で、ｘ を１３で割ると余りは３となる。 ｘ は何？
を難しく論ずるにはどうするのでしょうかとの問いかけに、DD++さんが考察されました。
（平成２７年７月１１日付け）
２Ｘ＋７ を １１ で割った余りは、０ 、２Ｘ＋７ を １３ で割った余りは、０
しかも、これは奇数なので、 ２Ｘ＋７＝ (２ｎ＋１)×１１×１３＝１４３ｎ＋６８
＃ 計算は簡単でも、どこから ２ｘ＋７ が登場したか説明するのは大変難しい！（はず）
（コメント） 私も一応難しく解いてみました。
ｘ＝１１ａ＋２＝１３ｂ＋３ より、 １１ａ−１３ｂ＝１
ユークリッドの互除法により、 １３＝１１・１＋２ 、１１＝２・５＋１ なので、
１＝１１−２・５＝１１−（１３−１１）・５＝１１・６−１３・５
よって、 １１（ａ−６）−１３（ｂ−５）＝０ すなわち、 １１（ａ−６）＝１３（ｂ−５）
１１と１３は互いに素なので、 ａ−６は１３の倍数 すなわち、 ａ＝１３ｋ＋６ （ｋは整数）
よって、 ｘ＝１１ａ＋２＝１１（１３ｋ＋６）＋２＝１４３ｋ＋６８ （ｋは整数）
上記の解答は、現在の高校の教科書「数学Ａ」に普通に載っているものであるが、私自身、
高校時代に上記のように解いた記憶が全くない。多分、次のように解いていたと思う。
（別解） ｘ＝１１ａ＋２＝１３ｂ＋３ より、 １１ａ−１３ｂ＝１ すなわち、１１ａ＝１３ｂ＋１
よって、 ａ＝ｂ＋（２ｂ＋１）/１１ より、２ｂ＋１＝１１ｋ （ ｋ は整数） とおける。
このとき、 ａ＝ｂ＋ｋ で、 ２ｂ＝１１ｋ−１ より、 ｂ＝５ｋ＋（ｋ−１）/２
よって、 ｋ−１＝２ｔ （ ｔ は整数） とおけるので、 ｂ＝５（２ｔ＋１）＋ｔ＝１１ｔ＋５
このとき、 ｘ＝１３ｂ＋３＝１３（１１ｔ＋５）＋３＝１４３ｔ＋６８ （終） （→ 参考）
ユークリッドの互除法という言葉を出さないまでも、ユークリッドの互除法的な解答の流れ
に沿っていたんだな〜ということが今更ながら実感できました！
Ｓ（Ｈ）さんの示された解答も、１１ａ−１３ｂ＝１ を式変形し、 ｂ＝（１１ａ−１）/１３ から、
ａ＝６ を見いだしていますが、係数がもっと大きくなると、探すのも大変になりますね！
私の塾生の中にも、ユークリッドの互除法を使わずに、山勘で整数解を見つけることに長
けたものがいますが、そういう山勘も数学のセンスの一つといっていいんでしょうネ。
Ｓ（Ｈ）さんからの更なる問題(百五減算という著名な問題とのことです)：
「あなたの年齢を ３ で割った余りを教えて下さい」と聞いて、例えば「 1 です」という
答えを得る。同様に、５ と ７ で割った余りも尋ねてそれぞれ ４、５ であると教えても
らったとする。あなたの年齢は幾つか？
DD++さんの発想で、解いてみました。
ｘ＝３ａ＋１ 、ｘ＝５ｂ＋４ 、 ｘ＝７ｃ＋５
このとき、 ｘ−１９＝３（ａ−６） 、ｘ−１９＝５（ｂ−３） 、 ｘ−１９＝７（ｃ−２）
ｘ−１９＝３・５・７ｋ＝１０５ｋ より、 ｘ＝１０５ｋ＋１９
したがって、 １２４歳ということは考えないものとして、年齢は、 １９歳
（追記） 令和３年１２月２８日付け
読者のために練習問題を残しておこう。
練習問題 私の年齢は３で割ると２余り、５で割ると３余り、７で割ると４余る。さて、私の年
齢を当ててみよ。
（解法１） 私の年齢を ｘ とおくと、題意より、
ｘ＝３ａ＋２ 、ｘ＝５ｂ＋３ 、 ｘ＝７ｃ＋４
このとき、 ｘ−５３＝３（ａ−１７）＝５（ｂ−１０）＝７（ｃ−７） なので、
ｘ−５３＝３・５・７ｋ＝１０５ｋ より、 ｘ＝１０５ｋ＋５３
よって、ｋ＝０ として、年齢は、 ５３歳
（解法２） 私の年齢を ｘ とおくと、題意より、
ｘ＝３ａ＋２ 、ｘ＝５ｂ＋３ 、 ｘ＝７ｃ＋４
まず、 ３ａ＋２＝５ｂ＋３ から、 ３ａ−５ｂ＝１
３・２−５・１＝１ から、 ３（ａ−２）＝５（ｂ−１） なので、 ａ−２＝５ｋ 、ｂ−１＝３ｋ
よって、 ａ＝５ｋ＋２ 、ｂ＝３ｋ＋１
このとき、 ｘ＝３（５ｋ＋２）＋２＝１５ｋ＋８＝７ｃ＋４ から、 １５ｋ−７ｃ＝−４
１５・３−７・７＝−４ から、 １５（ｋ−３）＝７（ｃ−７） なので、 ｋ−３＝７ｈ
よって、 ｋ＝７ｈ＋３ で、 ｘ＝１５（７ｈ＋３）＋８＝１０５ｈ＋５３
これより、ｈ＝０ として、年齢は、 ５３歳
（解法３） 百五減算の公式から、題意を満たす年齢は、
−３５×２＋２１×３＋１５×４＝５３（歳）
（コメント） 見知らぬ人に年齢を聞くときに使えるエレガントな技ですね！もっとも相手が百
五減算のことを知っている場合は、取り返しのつかない結末を迎えそうです。
