すべて奇数でうまく表現されています。特別なものと思っていましたが、自由にたくさん作れ
る当たり前の結果という風に思えてきました。
他にどのような表現方法があるでしょうか？趣旨は、「一定の数をもち、いくらでも規則的
に作れる分数」です。どんな分数でも可能でしょうか？
DD++さんからのコメントです。（平成２７年７月３日付け）
1/(3+5)=(1+3)/(5+7+9+11)=・・・ とか、奇数で同じように上下の個数を一定にすれば、1/8
とか 4/5 とか n2/(m2-n2) というタイプの分数は全部作れますね。
あと、別パターンですぐに思いつくのは、
(1^3)/(1)^2=(1^3+2^3)/(1+2)^2=(1^3+2^3+3^3)/(1+2+3)^2
とかですか。探せば無数に作れそうですが、任意の分数でこういうことができるかというと難
しそう。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年７月３日付け）
KSさんの趣旨には添わないと思いますが、奇数と偶数を材料に、次の様に組み立てる計
算は、さて、どんな値でしょうか？
分子＝(3/1)^1*(5/3)^3*(7/5)^5*(9/7)^7*･････*((2n+1)/(2n-1))^(2n-1)
分母＝(4/2)^2*(6/4)^4*(8/6)^6*(10/8)^8*･････*((2n+2)/(2n))^(2n)
この時、limn→∞ （分子/分母）は？
DD++さんからのコメントです。（平成２７年７月４日付け）
((2n+2)/(2n))^(2n) = ((1+1/n)^n)^2 → e2 なので、ゼロ収束でもなければ発散（振動）だと
いうことはすぐにわかりますが、果たしてゼロ収束するのや否や。手がかりを求めて彷徨っ
ていますが難しいですね。
上下交互に1つ増えるんじゃなくて、上下同時に1つ増えるんで振動しないんですね。失礼
しました。
らすかるさんからのコメントです。（平成２７年７月４日付け）
「WolframAlpha」によると、0.577864という近似値になりますので、π/(2e) でしょうか。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年７月４日付け）
はい、その値に収束するそうです。更に、奇数の積を分母にする無限個の分数和と無限
に伸びる連分数の合計が、何と、sqrt(π*e/2) なる等式をラマヌジャンが見つけたという。
1/1+1/(1*3)+1/(1*3*5)+1/(1*3*5*7)+1/(1*3*5*7*9)+･････+
+1/(1+1/(1+2/(1+3/(1+4/(1+5/(1+6/(1+7/(1+････････)))))))))･････
=1.410686134･･･+0.655679543･･･
=2.066365677･･･
=√(πe/2)
また、 (1+1/1)(1-1/3)(1+1/5)(1-1/7)(1+1/9)(1-1/11)(1+1/13)(1-1/15)･････=
分子＝Πn=1〜∞ (1+1/((2n-1)*(2n+1)))=(1+1/(1*3))(1+1/(3*5))(1+1/(5*7))･･･
分母＝Σn=1〜∞ (1/((2n-1)*(2n+1)))=1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+･･･
分子/分母--->π
なんかも特別な分数かも。
ＫＳさんからのコメントです。（平成２７年７月５日付け）
いろいろ作ってみました。トリビアルなもの
1/3=(1+3)/(3+9)=(1+3+5)/(3+9+15)=…
1/3=(1+2)/(3+6)=(1+2+3)/(3+6+9)=…
1/3=2/(1+2+3)=3/(2+3+5)=…
1/3=4/(3+9)=9/(3+9+15)=…
1/3=(1+2)/(4+5)=(1+2+3)/(5+6+7)=…
1/2＝(1より小さい分母がｎ以下の既約分数の分子の和)/(上の分数の分母の和)
趣旨として、単純で、意外性があり、一般的なもの。単位分数でないと難しいでしょうか？
