１つの正方形をいくつかの小正方形に分割する問題を考える。

　４個、６個、７個、８個、９個、１０個、１１個、１２個などで分割が可能であることは実際に分
割を示せば十分なので容易である。

　それに対して、２個で分割することが不可能であることは、方程式を作れば示せるが、

　　３個の分割は不可能　、５個の分割は不可能

などを示すにはどうすればいいのだろう？


　らすかるさんからのコメントです。（平成２７年６月１４日付け）

　1個の小正方形を4分割することで「3個増やす」ことが出来ますので、4、6、8個が出来るこ
とから、4個と6個以上はすべて分割可能であり、不可能なのは、2個、3個、5個の場合だけ
です。

　正方形ABCDを複数個の小正方形に分割すると、少なくとも

　　　「頂点Aを含む小正方形」　、「頂点Bを含む小正方形」

　　　「頂点Cを含む小正方形」　、「頂点Dを含む小正方形」

が必要で、これら4つはどれも一致することがありませんので、2分割と3分割は明らかに不
可能です。（どれか2つが一致すると、4つが一致して分割しないことになります。）

　以下、上記4つの小正方形を「小正方形A」「小正方形B」「小正方形C」「小正方形D」と呼ぶ
ことにします。

　小正方形A、B、C、Dの一辺の長さがすべてAB/2のときは4分割ですから、もし、5分割が
できたとすると、小正方形A、B、C、Dのうち少なくとも一つは一辺の長さがAB/2より小さくな
ります。

　そこで、小正方形Aの一辺の長さがAB/2より小さいとします。

　もし、小正方形Aと小正方形Bが隣接せず、かつ、小正方形Aと小正方形Dも隣接しないと
すると、小正方形Aと小正方形Bの間に辺ABに接する小正方形および小正方形Aと小正方
形Dの間に辺ADに接する小正方形が少なくとも一つ必要となり、これらが一致することはあ
りませんので、6分割以上になってしまいます。

　よって、5分割ができたとすると小正方形Bと小正方形Dのうち少なくとも一つが小正方形A
と隣接します。

　そこで、小正方形Bが小正方形Aと隣接するとします。このとき、小正方形Bの一辺の長さ
がAB/2より大きくなりますので、小正方形Cも小正方形Dも小正方形Aと同様に一辺の長さ
がAB/2より小さくなります。

　そうすると、

　小正方形Aと小正方形Dの間に辺ADに接する小正方形が少なくとも一つ必要、

　小正方形Cと小正方形Dの間に辺CDに接する小正方形が少なくとも一つ必要

となり、これらが一致することはありませんので、6分割以上になってしまいます。

　従って、5分割は不可能です。

(参考)　正方形の分割例

（コメント）　らすかるさん、証明ありがとうございます。スッキリしました！