ある問題を解いていたとき、答えが納得できなくその説明文にもしっくり行かなかったので、
何方か次の問題を解いてくれませんか。（問題文は、一字一句も変更していません。）

　できたら、f(j)=g(g(g(j))) なら何通りになるのかも知りたいです。また、A={1,2,3,4,5}とAを設定
したとすると、f(j)=g(g(j))では何通りなのか？

　集合A={1,2,3,4,5,6,7}からAへの写像で、次の条件(1)、(2)をみたすものは、いくつあるか？

(1)　各j∈Aに対して、j=f(k)となるk∈Aが唯一つあり、しかもk≠jである。

(2)　AからAへの写像gがあり、各j∈Aに対して、f(j)=g(g(j))となる。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２７年４月２８日付け）

　あまり自信がなく、またうまく説明できませんが、

(1)の条件は完全順列で、

(2)の条件を満たすためには、7個のグループ分け（何個ずつの巡回か）が(3,2,2)か(7)になっ
ていれば良いと思いますので、

　　₇C₃×2×3+6!=930通り

になるのではないでしょうか。もしこれで合っていれば、f(j)=g(g(g(j)))は、グループ分けが(5,2)
か(7)になっていれば良いので、

　　₇C₂×4!+6!=1224通り

になると思います。間違っていたらごめんなさい。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年４月２８日付け）

　ともに、正解となっている数字です！自分で変更した問題なので答えはありませんが、らす
かるさんのこと、正解まちがいありません。できたら、その計算の組み方をもっと詳しく教えて
下さい。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２７年４月２８日付け）

　₇C₃×2×3+6!の式は…

　7個を3個、2個、2個のグループに分けるのは、7個から3個とるのが₇C₃通り、残りの4個

のうちの代表と残り3個のどれをペアにするかで決まりますので、₇C₃×3通りです。そして、

3個の巡回が2通り(a,b,cなら、a→b→c→aとa→c→b→a)ありますので、₇C₃×3×2通りとな

ります。

　7個の巡回は円順列で6!通りですから、(3個、2個、2個に分けた巡回)+(7個の巡回)で、
₇C₃×2×3+6!通りになります。

　7要素の完全順列は、[7!/e+1/2]=1854通りですが、グループ分けのパターンで場合分け
すると、

7個の巡回: 6!=720通り
5個と2個の巡回: 7C2×4!=504通り
4個と3個の巡回: 7C3×3!×2!=420通り
3個と2個と2個の巡回: 7C3×3×2=210通り

の4種類であり、f(j)=g(g(j))の方は、

(7)→7は2と互いに素なのでOK
(5,2)→2は2と互いに素でないのでNG
(4,3)→4は2と互いに素でないのでNG
(3,2,2)→2は2と互いに素でないが、2がちょうど二つあるのでOK
※(a,b)と(c,d)ならばa→c→b→d→aのようにg(x)を構成すれば良い

従って、(7)と(3,2,2)の二つが該当

f(j)=g(g(g(j)))の方は、

(7)→7は3と互いに素なのでOK
(5,2)→5も2も3と互いに素なのでOK
(4,3)→3は3と互いに素でないのでNG
(3,2,2)→3は3と互いに素でないのでNG

から、(7)と(5,2)の二つが該当となりますね。