u:={u_1,…,u_n}をエルミート行列Aの固有ベクトルからなるCnの正規直交基底として、f、gを
n×nエルミート行列からn×n行列への線形写像とし、[f]、[g]をf、gのuにおいての表現行列
とする時、detf(A)=det[f]と書ける事は分かります。
何故なら、 f(A)=(u_1,u_2,…,u_n)[f](u_1,u_2,…,u_n)* （*は転置共役)
det(f_1,…,f_{j-1},g_j,f_{j+1},…,f_n)=det(f~_1,…,f~_{j-1},g~_j,f~_{j+1},…,f~_n)
と書けるそうなのですがどうしてなんでしょうか?
(f_1,f_2,…,f_n):=f(A)、(g_1,g_2,…,g_n):=g(A)、f_k、g_kは列ベクトル
((f~_1,f~_2,…,f~_n):=[f]、(g~_1,g~_2,…,g~_n):=[g]、f~_k、g~_kは列ベクトル、k=1,2,…,n)
りらひいさんからのコメントです。（平成２７年３月２日付け）
線形代数は大学１年で習った程度の私ですが、気になったのでちょっと書きます。
「f、gを〜表現行列とする時」の一文がおかしくて全体の意味が分からなくなっていると思
います。まず、
「f、gをn×nエルミート行列からn×n行列への線形写像とし、」
ですけど、n×nエルミート行列は複素数体上のベクトル空間ではないので、それを始域とす
る複素数体上の線形写像は定義できないと思います。
今、仮に、「f、gをn×n行列からn×n行列への線形写像とし」というように言い直した場合で
も、f、gの表現行列を作るためにはn×n行列の基底が必要で、できる表現行列は、n2×n2
行列になります。
また、n×nエルミート行列を実数体上のベクトル空間とみなして、実数体上の線形写像を
定義することならできるでしょうが、この場合は、n×nエルミート行列からn×n行列への線形
写像となり、その表現行列は、（2n）2×n2行列になります。
いずれにしても、uにおいての表現行列というものは考えようがないと思います。
たぶんですけれど、
f、gをCnからCnへの線形写像とし、[f]、[g]をf、gのuにおいての表現行列として、n×n行列
からn×n行列への線形写像F、Gをそれぞれf、gを用いて何らかの形で定義している
のではないかと思い、どのような定義なら続きの内容を満たすだろうかと考えたのですが、
よくわからなかったので違うかも。
私はこのように思ったのですが、何か別の解釈があるのでしょうか。
よしこさんからのコメントです。（平成２７年３月３日付け）
誠に失礼致しました!! 下記のように訂正させていただきます。
u:={u_1,…,u_n}をエルミート行列Aの固有ベクトルからなるCnの正規直交基底として、f、gを
Cｎ2からCｎ2への線形写像、f~:=f(A)、g~(A)をf~(u)=f(A)u、g~(u)=g(A)uで定めるCｎ2からCn
への線形写像とします。
(f~_1,f~_2,…,f~_n):=(α_ij)、(g~_1,g~_2,…,g~_n):=(β_ij)をf~、g~のu:={u_1,…,u_n}においての表
現行列とする時、つまり、f~(u_j)=Σ_{k=1..n}α_{kj}u_k、g~(u_j)=Σ_{k=1..n}β_{kj}u_kとする時、
detf(A)=det(α_ij)と書ける事は分かります。
何故なら、f(A)=(u_1,u_2,…,u_n)(α_ij)(u_1,u_2,…,u_n)* (*は転置共役)。その時、
det(f_1,…,f_{j-1},g_j,f_{j+1},…,f_n)=det(f~_1,…,f~_{j-1},g~_j,f~_{j+1},…,f~_n)
と書けるそうなのですがどうしてなんでしょうか?
((f_1,f_2,…,f_n):=f(A)、(g_1,g_2,…,g_n):=g(A)、f_k、g_k、f~_k、g~_kは列ベクトル、k=1,2,…,n))
