・累乗根の不等式 空舟氏
A[j,k]=2j−j+k とおくと、(A[j,k](1/k)−1)/(A[j−1,k](1/k)−1)≦j(1/k) が成り立ち
そうという現象に出会いました。
でも、どうして成り立つのか分からないです。何か説明が見つかりましたら、ぜひ紹介して
ください。
例 j=2、k=2 のとき、A[2,2]=4−2+2=4、A[1,2]=2−1+2=3 なので、
(4(1/2)−1)/(3(1/2)−1)=1/(−1)=(+1)/2(≒1.666・・・)
一方、 2(1/2)=(≒1.414・・・) なので、(4(1/2)−1)/(3(1/2)−1)≦2(1/2) が
成り立つ。
GAI さんからのコメントです。(平成27年1月31日付け)
2≦j≦9、2≦k≦9 で数値確認していましたら、
(j,k)=(4,7)、(4,8)、(4,9)、(5,8)、(5,9)
においては、不成立でした。上記での範囲では、この5タイプだけが例外のようです。
範囲をもっと広げて調査(2≦j、k≦100)してみたら、j≧4のすべてにおいて、あるk以上
において、左辺>右辺の関係になっているようです。
(j,k)=(4,7)、(5,8)、(6,10)、(7,12)、(8,14)、(9,17)、(10,19)、(11,22)、(12,25)、(13,28)、(14,31)
(15,35)、(16,38)、(17,41)、(18,45)、(19,48)、(20,52)、(21,55)、(22,59)、(23,63)、(24,67)
(25,71)、(26,74)、(27,78)、(28,82)、(29,86)、(30,90)、(31,94)、(32,98)
空舟さんからのコメントです。(平成27年2月1日付け)
GAI さん、検証ありがとうございます。実は成り立ちませんでしたか・・。