・センター試験　　 　　　　 　 　　 　 　　　　　　 　 Ｓ．Ｈ．氏

　平成２７年度の大学入試センター試験も無事に終わった。数学�U・数学Ｂが非常に難しく、
途中で泣きたくなったと感想を漏らす受験生もいて、どんな問題だったのか興味本位でのぞ
いてみた。

第１問　[１]　Ｏを原点とする座標平面上の２点Ｐ（２ｃｏｓθ，２ｓｉｎθ）、
　　　Ｑ（２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ７θ，２ｓｉｎθ＋ｓｉｎ７θ）を考える。ただし、π/８≦θ≦π/４とする。

（１）　ＯＰ＝（　　）、ＰＱ＝（　　）である。また、
　　　ＯＱ²＝（　　）＋（　　）（ｃｏｓ７θｃｏｓθ＋ｓｉｎ７θｓｉｎθ）
　　　　　　＝（　　）＋（　　）ｃｏｓ（　　）θ

　　よって、π/８≦θ≦π/４の範囲で、ＯＱは、θ＝（　　）のとき最大値（　　）をとる。

（２）　３点Ｏ、Ｐ、Ｑが一直線上にあるようなθの値を求めよう。
　　　直線ＯＰを表す方程式は、（　　）である。このことにより、π/８≦θ≦π/４の範囲で、
　　　３点Ｏ、Ｐ、Ｑが一直線上にあるのは、θ＝（　　）のときであることがわかる。

（３）　∠ＯＱＰが直角となるのはＯＱ＝（　　）のときである。したがって、π/８≦θ≦π/４
　　　の範囲で、∠ＯＱＰが直角となるのはθ＝（　　）のときである。


　予備校の分析によれば、「やや難」のレベルだという。実際に解いてみよう。

（解）　（１）　ＯＰ＝２、ＰＱ＝１　は明らか。

ＯＱ²＝４（ｃｏｓ²θ＋ｓｉｎ²θ）＋４（ｃｏｓ７θｃｏｓθ＋ｓｉｎ７θｓｉｎθ）＋（ｃｏｓ²７θ＋ｓｉｎ²７θ）

　　　＝５＋４ｃｏｓ６θ

π/８≦θ≦π/４　より、　３π/４≦６θ≦３π/２　で、６θ＝３π/２　すなわち、θ＝π/４

のとき、ＯＱは最大で、最大値　 をとる。

（２）　直線ＯＰを表す方程式は、　ｘ/（２ｃｏｓθ）＝ｙ/（２ｓｉｎθ）　より、

　　　　　（ｓｉｎθ）ｘ−（ｃｏｓθ）ｙ＝０

　　Ｑ（２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ７θ，２ｓｉｎθ＋ｓｉｎ７θ）を通るので、

　　　　　（ｓｉｎθ）（２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ７θ）−（ｃｏｓθ）（２ｓｉｎθ＋ｓｉｎ７θ）＝０

　　　よって、　ｓｉｎ６θ＝０　で、３π/４≦６θ≦３π/２　の範囲で、６θ＝π

　　　したがって、　θ＝π/６

（３）　∠ＯＰＱが直角となるとき、三平方の定理より、　ＯＱ²＝２²−１²＝３

　　　よって、　ＯＱ＝　で、 ＯＱ²＝５＋４ｃｏｓ６θ＝３　より、　ｃｏｓ６θ＝−１/２

π/８≦θ≦π/４　より、３π/４≦６θ≦３π/２　で、６θ＝４π/３　即ち、θ＝２π/９
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（終）

（コメント）　難しいと言われているが、実際に解いてみるとそうでもなかったような気がする。


第１問　[２]　ａ、ｂを正の実数とする。連立方程式(*)　ｘ√（ｙ³）＝ａ、（³√ｘ）ｙ＝ｂ　を満たす
　　　　　　　正の実数ｘ、ｙについて考えよう。

（１）　連立方程式(*)を満たす正の実数ｘ、ｙは、ｘ＝ａ⁽⁾ｂ⁽⁾、ｙ＝ａ^ｐｂ⁽⁾　となる。
　　　ただし、ｐ＝（　　）である。

（２）　ｂ＝２（³√ａ⁴）とする。ａがａ＞０の範囲を動くとき、連立方程式(*)を満たす正の実数
　　　ｘ、ｙについて、ｘ＋ｙの最小値を求めよう。

　　　ｂ＝２（³√ａ⁴）であるから、(*)を満たす正の実数ｘ、ｙは、ａを用いて、
　　　　ｘ＝２⁽⁾ａ⁽⁾　、ｙ＝２⁽⁾ａ⁽⁾　と表される。

　したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、ｘ＋ｙはａ＝２^qのとき最小値（　　）
をとることがわかる。ただし、ｑ＝（　　）である。

（解）（１）　ｘ²ｙ³＝ａ²　、ｘｙ³＝ｂ³　より、　ｘ＝ａ²ｂ^-3　、ｙ＝ｂ/（ａ^2/3ｂ^-1）＝ａ^-2/3ｂ²

（２）　ｂ＝２（³√ａ⁴）　なので、　ｘ＝ａ²（２（ａ^4/3））^-3＝２^-3ａ^-2

　　　　　　ｙ＝ａ^-2/3（２（ａ^4/3））²＝２²ａ²

　　相加平均と相乗平均の関係より、　ｘ＋ｙ＝２^-3ａ^-2＋２²ａ²≧

　　等号成立は、　２^-3ａ^-2＝２²ａ²　すなわち、　ａ⁴＝２^-5　より、　ａ＝２^-5/4　　（終）


（コメント）　[２]も標準的な良問でした！


第２問
（１）　関数 ｆ（ｘ）＝(1/2)ｘ² の ｘ−ａ における微分係数 ｆ’（ａ） を求めよう。 ｈ が ０ でないと
　　き、ｘ が ａ から ａ＋ｈ まで変化するときの ｆ（ｘ） の平均変化率は（　　）である。
　　したがって、求める微分係数は、ｆ’（ａ）＝（　　）である｡

（２）　放物線　ｙ＝(1/2)ｘ² を Ｃ とし、Ｃ 上に点 Ｐ（ａ，(1/2)ａ²）をとる。ただし、ａ＞０とする。
　点PにおけるCの接線 ｌ の方程式は、ｙ＝（　　）である。直線 ｌ とｘ軸との交点Qの座標は
　（　　）である｡点Qを通り ｌ に垂直な直線を ｍ とすると、ｍ の方程式は、ｙ＝（　　）である｡

　直線 ｍ と y 軸との交点を A とする｡三角形APQの面積を S とおくと、S＝（　　）となる｡
　また、ｙ 軸と線分 AP および曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと、Ｔ＝（　　）と
　なる｡　ａ＞０の範囲におけるS−Tの値について調べよう。S−T＝（　　）である。

　ａ＞0であるから、S−T＞0 となるような ａ のとり得る値の範囲は、ａ＞（　　）である｡また、
　ａ＞0 のときの S−T の増減を調べると、S−T は、ａ＝（　　）で最小値（　　）をとることが
　わかる｡

（解）（１）　ｘ が ａ から ａ＋ｈ まで変化するときの ｆ（ｘ） の平均変化率は、

　　　　　　（ｆ（ａ＋ｈ）−ｆ（ａ））/ｈ＝（（ａ＋ｈ）²−ａ²）/（２ｈ）＝ａ＋ｈ/２

　　　　　よって、　ｆ’（ａ）＝ｌｉｍ_ｈ→0（ｆ（ａ＋ｈ）−ｆ（ａ））/ｈ＝ａ

（２）　点 Ｐ（ａ，(1/2)ａ²）におけるCの接線 ｌ の方程式は、

　　　　　ｙ＝ａ（ｘ−ａ）＋(1/2)ａ²＝ａｘ−(1/2)ａ²

　　ここで、ｙ＝０　とおいて、　ｘ＝ａ/２　　よって、Ｑ（ａ/２，０）

　　点Qを通り ｌ に垂直な直線 ｍ の方程式は、ｙ＝（−１/ａ）（ｘ−ａ/２）＝（−１/ａ）ｘ＋１/２

　　よって、　Ａ（０，１/２）　より、ＱＡ＝（−ａ/２，１/２）、ＱＰ＝（ａ/２，(1/2)ａ²）　なので、

　　　　　Ｓ＝（１/２）（ａ/４＋ａ³/４）＝（１/８）（ａ＋ａ³）

　　また、Ｔ＝（１/４）（ａ＋ａ³）−∫₀^a (1/2)ｘ²ｄｘ＝（１/４）（ａ＋ａ³）−ａ³/６＝ａ/４＋ａ³/１２

　　このとき、　S−T＝（１/８）（ａ＋ａ³）−（ａ/４＋ａ³/１２）＝ａ³/２４−ａ/８

　　　不等式　ａ³/２４−ａ/８＞０　かつ　ａ＞０　を解いて、　ａ＞

　　また、（S−T）’＝ａ²/８−１/８＝０　より、　ａ＝１　で、このとき、極小かつ最小で、

　　最小値　−１/１２　をとる。　　（終）


（コメント）　教科書レベルの基本問題ですね。


第３問　自然数ｎに対し、２^ｎの一の位の数をａ_nとする。また、数列｛ｂ_ｎ｝は、
　　　　　ｂ₁＝１、ｂ_ｎ+1＝ａ_ｎｂ_ｎ/４　(ｎ＝1，２，３，・・・)　・・・(*)　を満たすとする｡

（１）　ａ₁＝２、ａ₂＝（　　）、ａ₃＝（　　）、ａ₄＝（　　）、ａ₅＝（　　）　である。このことから、すべ
　　　ての自然数ｎに対して、ａ_（　　）＝ａ_ｎ　となることがわかる｡

（２）　数列｛ｂ_ｎ｝の一般項を求めよう。(*)を繰り返し用いることにより、

　　　ｂ_ｎ+4＝（ａ_ｎ+3・ａ_ｎ+2・ａ_ｎ+1・ａ_ｎ/２^（　　））ｂ_ｎ　　(ｎ＝1，２，３，・・・)

が成り立つことがわかる｡ここで、ａ_ｎ+3・ａ_ｎ+2・ａ_ｎ+1・ａ_ｎ＝３・２^（　　）　であることから、
ｂ_ｎ+4＝（　　）ｂ_ｎ　が成り立つ。このことから、自然数ｋに対して

　　ｂ_4ｋ-3＝（　　）^k-1 、ｂ_4ｋ-2＝（　　）・（　　）^k-1 、ｂ_4ｋ-1＝（　　）・（　　）^k-1 、
　　ｂ_4ｋ＝（　　）^k-1

である｡

（３）　Ｓ_ｎ＝Σ_ｊ=1〜ｎ b_j　とおく。自然数ｍに対して、Ｓ_４ｍ＝（　　）・（　　）^ｍ−（　　）　である｡

（４）　積 ｂ₁ｂ₂・・・ｂ_ｎ を Ｔ_ｎとおく。自然数ｋに対して、ｂ_4k-3ｂ_4k-2ｂ_4k-1ｂ_4k＝（　　）　である
　　　ことから、自然数ｍに対して、Ｔ_4m＝（　　）　である。

　　また、Ｔ₁₀を計算すると、Ｔ₁₀＝（　　）　である。


（解）（１）　２¹＝２、２²＝４、２³＝８、２⁴＝１６、２⁵＝３２　より、

　　　　ａ₁＝２、ａ₂＝４、ａ₃＝８、ａ₄＝６、ａ₅＝２　である。

　　　このことから、４つ目の項毎に元の項と一致するので、　ａ_ｎ+4＝ａ_ｎ　


（注）　１月２０日付けで、大学入試センターより上記答の追加が発表された。
　　　ａ_5ｎ＝ａ_ｎ も正解にするという。上記のように素直に考えれば、「ａ_ｎ+4＝ａ_ｎ」
　　だが、どのような見方をすれば「ａ_5ｎ＝ａ_ｎ 」という式に到達するのだろう？

　　（追記）　平成２７年１月２３日付けで、DD++さんからアドバイスを頂きました。

　　　　ａ₁＝ａ₅＝２ を見て、１と５の関係を「５倍した数」と考えた場合、ａ_5ｎ は、２⁵ⁿ＝３２ⁿ
　　　の一の位だから、２^ｎの一の位と同じだなあ、とこの式に至ります。

　　　　むしろこの問題、二項間漸化式がないので、 ａ_ｎ+4＝ａ_ｎ の方が実は証明は大変だっ
　　　たり．．．。それでも数列として問題が続いて行くことを考えれば、「n+4」の方を考えるの
　　　が普通でしょうけど。

　　　　ところでこの問題、ｂ_ｎ を見た瞬間に群数列の問題と感じて4つずつ区切ったのは私
　　　だけでしょうか。

　　（コメント）　私も４つずつ区切って考えていて、その中で「ａ_5ｎ＝ａ_ｎ」を考えてしまったので
　　　　　　　　別なことを考えていました。２⁵ⁿ＝３２ⁿ と考えれば、「ａ_5ｎ＝ａ_ｎ」の方が自然で
　　　　　　　　すね！DD++さんに感謝します。


（２）　ｂ_ｎ+4＝ａ_ｎ+3ｂ_ｎ+3/４、ｂ_ｎ+3＝ａ_ｎ+2ｂ_ｎ+2/４、ｂ_ｎ+2＝ａ_ｎ+1ｂ_ｎ+1/４、

　　ｂ_ｎ+1＝ａ_ｎｂ_ｎ/４　より、　ｂ_ｎ+4＝（ａ_ｎ+3・ａ_ｎ+2・ａ_ｎ+1・ａ_ｎ/２⁸）ｂ_ｎ

　　ここで、ａ_ｎ+3・ａ_ｎ+2・ａ_ｎ+1・ａ_ｎ＝３・２⁷　であることから、 ｂ_ｎ+4＝(３/２)ｂ_ｎ

　数列｛ｂ_4ｋ-3｝は、初項 ｂ₁＝１、公比３/２の等比数列なので、第ｋ項 ｂ_4ｋ-3＝（３/２）^k-1

　数列｛ｂ_4ｋ-2｝は、初項 ｂ₂＝ａ₁ｂ₁/４＝１/２、公比３/２の等比数列なので、

第ｋ項 ｂ_4ｋ-2＝(１/２)（３/２）^k-1

　数列｛ｂ_4ｋ-1｝は、初項 ｂ₃＝ａ₂ｂ₂/４＝１/２、公比３/２の等比数列なので、

第ｋ項 ｂ_4ｋ-1＝(１/２)（３/２）^k-1

　数列｛ｂ_4ｋ｝は、初項 ｂ₄＝ａ₃ｂ₃/４＝１、公比３/２の等比数列なので、

第ｋ項 ｂ_4ｋ＝（３/２）^k-1

（３）　自然数ｍに対して、

　　Ｓ_４ｍ＝Σ_ｊ=1〜4m b_j

　　　　　＝Σ_ｋ=1〜m ｛（３/２）^k-1＋(１/２)（３/２）^k-1＋(１/２)（３/２）^k-1＋（３/２）^k-1｝

　　　　　＝Σ_ｋ=1〜m ３（３/２）^k-1

　　　　　＝３（（３/２）^ｍ−１）/（（３/２）−１）＝６・（３/２）^ｍ−６

（４）　積 ｂ₁ｂ₂・・・ｂ_ｎ を Ｔ_ｎとおく。自然数ｋに対して、

　　ｂ_4k-3ｂ_4k-2ｂ_4k-1ｂ_4k＝（３/２）^k-1・(１/２)（３/２）^k-1・(１/２)（３/２）^k-1・（３/２）^k-1

　　　　　　　　　　　　　　 ＝(１/４)（３/２）^4k-4

であることから、自然数ｍに対して、

　Ｔ_4m＝ｂ₁ｂ₂・・・ｂ_4m＝(１/４)^ｍ（３/２）^2m(m+1)-4m＝(１/４)^ｍ（３/２）^2m2-2m　である。

　　また、Ｔ₁₀＝Ｔ₈・ｂ₉ｂ₁₀

　　　　　　　　＝（１/１６）（３/２）⁴・（３/２）²・(１/２)（３/２）²＝（１/３２）・（３/２）⁸

　　　　　　　　＝３⁸/２¹³　である。　　（終）


（コメント）　この第３問が予備校の分析では「難」に分類されたらしい。実際に解いてみると
　　　　　　扱いの煩雑さはあるが、扱っている数列が等比数列で、見た目ほど難しくはない。
　　　　　　　部分列の考え方に慣れていない現役の受験生はまごついたかもしれないが。


第４問　１辺の長さが１のひし形OABCにおいて、∠AOC=120°とする｡辺ABを２：１に内分
　　　　　する点をPとし、直線BC上に点QをOP⊥OQとなるようにとる。
　　　　　　以下、OA＝ａ、OB＝ｂ とおく｡

（１）　三角形OPQの面積を求めよう。ＯＰ＝（　　）ａ＋（　　）ｂ　である。実数ｔを用いて、
　　　ＯＱ＝（１−ｔ）ＯＢ＋ｔＯＣ　と表されるので、ＯＱ＝（　　）ｔａ＋ｂ　である。

　　　ここで、ａ・ｂ＝（　　）、ＯＰ・ＯＱ＝（　　）　であることから、ｔ＝（　　）である。これらのこ
　　とから、｜ＯＰ｜＝（　　）、｜ＯＱ｜＝（　　）　である。

　　　よって、三角形OPQの面積S₁は、S₁＝（　　）　である｡

（２）　辺BCを１：３に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。OTをａとｂ
　　　を用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう｡

　　Tは直線OR上の点であり、直線PQ上の点でもあるので、実数ｒ、ｓを用いて、
　ＯＴ＝ｒＯＲ＝（１−ｓ）ＯＰ＋ｓＯＱ　と表すと、ｒ＝（　　）、ｓ＝（　　）　となることがわかる。

　　よって、ＯＴ＝（　　）ａ＋（　　）ｂ　である。

　　上で求めたｒ、ｓの値から、三角形OPQの面積S₁と、三角形PRTの面積S₂との比は、
　Ｓ₁：Ｓ₂＝（　　）：２　である｡


（解）　（１）　題意より、　ＯＰ＝（１/３）ａ＋（２/３）ｂ　である。実数ｔを用いて、

　　　ＯＱ＝（１−ｔ）ＯＢ＋ｔＯＣ＝（１−ｔ）ｂ＋ｔ（ｂ−ａ）＝（−ｔ）ａ＋ｂ　である。

　　また、ひし形の性質から、　｜ａ｜＝｜ｂ｜＝１、∠ＡＯＢ＝６０°なので、

　　　ａ・ｂ＝１/２　である。OP⊥OQなので、ＯＰ・ＯＱ＝０　より、

　　（（１/３）ａ＋（２/３）ｂ）・（（−ｔ）ａ＋ｂ）＝（５−４ｔ）/６＝０　から、ｔ＝５/４

　　このとき、｜ＯＰ｜²＝１/９＋２/９＋４/９＝７/９　より、　｜ＯＰ｜＝/３

　　｜ＯＱ｜²＝２５/１６−５/４＋１＝２１/１６　より、　｜ＯＱ｜＝（√２１）/４

　　よって、S₁＝（/３）（（√２１）/４）（１/２）＝７/２４

（２）　ＯＴ＝ｒＯＲ＝（１−ｓ）ＯＰ＋ｓＯＱ　と表すと、

　　　ｒ（（−１/４）ａ＋ｂ）＝（１−ｓ）（（１/３）ａ＋（２/３）ｂ）＋ｓ（（−５/４）ａ＋ｂ）

　　ａ、ｂは一次独立なので、

　　　　（−１/４）ｒ＝（１/３）（１−ｓ）＋（−５/４）ｓ＝１/３−（１９/１２）ｓ

　　　　ｒ＝（２/３）（１−ｓ）＋ｓ＝２/３＋（１/３）ｓ

　　よって、　４/３−（１９/３）ｓ＋２/３＋（１/３）ｓ＝０　より、　ｓ＝１/３　、ｒ＝７/９

　　このとき、　ＯＴ＝（−７/３６）ａ＋（７/９）ｂ　となる。

　　　さらに、ＯＴ＝（７/９）ＯＲ＝（２/３）ＯＰ＋（１/３）ＯＱ　から、

　　点Ｔは、線分ＰＱを１：２に内分する点で、かつ、線分ＯＲを７：２に内分する点である。

　このことから、S₂＝S₁×（１/３）×（２/７）＝S₁×（２/２１）　となり、

　　Ｓ₁：Ｓ₂＝２１：２　である｡　　（終）


（コメント）　ベクトルの問題としては標準的ですね。ひし形の絵を正確に描くと問題解決に有
　　　　　　効でしょう。


第５問　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて正規分布表を用いてもよい｡ま
　　　　た、小数の形で解答する場合、指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入し、解答せ
　　　　よ。途中で割り切れた場合、指定された桁までマークすること。

（１）　袋の中に白球が４個、赤球が３個入っている｡この袋の中から同時に３個の球を取り
　　出すとき、白球の個数をＷとする｡確率変数W について

　　　P(W＝０)＝（　　）　、P(W＝１)＝（　　）　、P(W＝２)＝（　　）　、P(W＝３)＝（　　）

　　であり、期待値(平均) は、（　　）、分散は（　　）である。

（２）　確率変数Zが標準正規分布に従うとき、　Ｐ（（　　）≦Ｚ≦（　　）)＝０．９９　が成り立つ｡

（３）　母標準偏差σの母集団から、大きさｎの無作為標本を抽出する。ただし、ｎは十分に
　　大きいとする。この標本から得られる母平均ｍの信頼度(信頼係数)９５％の信頼区間を
　　A≦ｍ≦Bとし、この信頼区間の幅Ｌ₁をＬ₁＝B−Aで定める｡
　　　この標本から得られる信頼度９９％の信頼区間をC≦ｍ≦Dとし、この信頼区間の幅L₂
　　をL₂＝D−Cで定めると、L₂/L₁＝（　　）が成り立つ｡また、同じ母集団から、大きさ４ｎの
　　無作為標本を抽出して得られる母平均ｍの信頼度９５％の信頼区間をE≦ｍ≦Fとし、こ
　　の信頼区間の幅L3をL₃＝F−Eで定める｡このとき、L₃/L₁＝（　　）が成り立つ｡


（解）（１）　P(W＝０)＝₃Ｃ₃/₇Ｃ₃＝１/３５　、P(W＝１)＝₄Ｃ₁・₃Ｃ₂/₇Ｃ₃＝１２/３５、

　　　　P(W＝２)＝₄Ｃ₂・₃Ｃ₁/₇Ｃ₃＝１８/３５　、P(W＝３)＝₄Ｃ₃/₇Ｃ₃＝４/３５

　　なので、期待値(平均) は、

　　　　０・（１/３５）＋１・（１２/３５）＋２・（１８/３５）＋３・（４/３５）＝６０/３５＝１２/７

　　また、

　　　０²・（１/３５）＋１²・（１２/３５）＋２²・（１８/３５）＋３²・（４/３５）＝１２０/３５＝２４/７

　　より、分散は、　２４/７−（１２/７）²＝２４/４９　である。

（２）　確率変数Zが標準正規分布Ｎ（０，１）に従うとき、０．９９/２＝０．４９５なので、正規分
　　布表からもっとも近い値を選んで、Ｐ（−２．５８）≦Ｚ≦２．５８)＝０．９９である。

（３）　母平均 ｍ、母標準偏差 σ の母集団から抽出された大きさ ｎ の無作為標本の標本
　　平均は、ｎ が十分大きいとき、正規分布Ｎ（ｍ，σ²/ｎ）に従うものと見なせる。

　　このとき、母平均ｍの信頼度(信頼係数)９５％の信頼区間は、

　[−１．９６σ/√ｎ，＋１．９６σ/√ｎ]　なので、　Ｌ₁＝３．９２σ/√ｎ

　同様にして、母平均ｍの信頼度(信頼係数)９９％の信頼区間は、

　[−２．５８σ/√ｎ，＋２．５８σ/√ｎ]　なので、　Ｌ₂＝５．１６σ/√ｎ

　　よって、　L₂/L₁＝５．１６÷３．９２＝１．３１６３２６５・・・　より、L₂/L₁＝１．３

　　母平均 ｍ、母標準偏差 σ の母集団から抽出された大きさ ４ｎ の無作為標本の標本
　平均は、ｎ が十分大きいとき、正規分布Ｎ（ｍ，σ²/４ｎ）に従うものと見なせる。

　　このとき、母平均ｍの信頼度(信頼係数)９５％の信頼区間は、

　[−１．９６σ/２√ｎ，＋１．９６σ/２√ｎ]　なので、　Ｌ₃＝１．９６σ/√ｎ

　　よって、　L₃/L₁＝１．９６÷３．９２＝０．５　　（終）


（コメント）　多くの受験生は、（３）を見て問題５を選択することを敬遠したかも知れないが、
　　　　　　公式さえ知っていれば、問題５ほど他の問題に比べて、易しく短時間で解答でき
　　　　　　る問題はない。計算するまでもなく、（２）や（３）のL₃/L₁の値は即答だろう。

　問題の最後に正規分布表がのっているが、実際に使うのは「１．９６」や「２．５８」という特
徴ある数字のみで正規分布表を載せる意味がそれを読み取らせるだけだったらつまらない。


　数学�T＋数学Ａの問題もついでに覗いておこう。（易しかったという評判！）

第１問　２次関数 ｙ＝−ｘ²＋２ｘ＋２ ・・・（*）　のグラフの頂点の座標は（　　）である。また、
　　　　ｙ＝ｆ（ｘ） はｘの２次関数で、そのグラフは、(*)のグラフをｘ軸方向にｐ、ｙ軸方向にｑだ
　　　　け平行移動したものであるとする。

（１）　２≦ｘ≦４におけるｆ（ｘ）の最大値がｆ（２）になるようなｐの値の範囲は（　　）であり、最小
　　値がｆ（２）になるようなｐの値の範囲は（　　）である。

（２）　２次不等式ｆ（ｘ）＞０の解が−２＜ｘ＜３になるのはｐ＝（　　）、ｑ＝（　　）のときである。

（解）（１）　ｙ＝−（ｘ−１）²＋３　より、頂点の座標は（１，３）

　　　　　２≦ｘ≦４におけるｆ（ｘ）の最大値がｆ（２）になるようなｐの値の範囲は、

　　　　　ｐ＋１≦２　すなわち、　ｐ≦１

　　　　　２≦ｘ≦４におけるｆ（ｘ）の最小値がｆ（２）になるようなｐの値の範囲は、

　　　　　ｐ＋１≧３　すなわち、　ｐ≧２

（２）　−（ｘ−１−ｐ）²＋３＋ｑ＞０　より、　（ｘ−１−ｐ）²−３−ｑ＜０

　　　−２＜ｘ＜３を解に持つ２次不等式は、（ｘ＋２）（ｘ−３）＜０　より、ｘ²−ｘ−６＜０

　　　　　すなわち、　（ｘ−１/２）²−２５/４＜０　より、　１＋ｐ＝１/２　、３＋ｑ＝２５/４

　　　　よって、　ｐ＝−１/２　、ｑ＝１３/４　　（終）


（コメント）　教科書の例題レベルの良問でした。（２）は解の方から逆算するのが得策でしょ
　　　　　　う。


第２問　[１]　条件ｐ₁、ｐ₂、ｑ₁、ｑ₂の否定をそれぞれ 〜ｐ₁、〜ｐ₂、〜ｑ₁、〜ｑ₂ と書く。
（１）　命題「（ｐ₁かつｐ₂）　→　（ｑ₁かつｑ₂）」の対偶は、（　　）である。

（２）　自然数ｎに対する条件ｐ₁、ｐ₂、ｑ₁、ｑ₂を次のように定める。
　　ｐ₁：ｎは素数である　　　　　　、　ｐ₂：ｎ＋２は素数である
　　ｑ₁：ｎ＋１は５の倍数である　、　ｑ₂：ｎ＋１は６の倍数である
　３０以下の自然数ｎのなかで、（　　）と（　　）は命題「（ｐ₁かつｐ₂）　→　（（〜ｑ₁）かつｑ₂）」
の反例となる。

（解）（１）　（〜ｑ₁または〜ｑ₂）　→　（〜ｐ₁または〜ｐ₂）

（２）　（ｐ₁かつｐ₂）かつ（ｑ₁または〜ｑ₂）となる自然数を求めればよい。

　　ｎ、ｎ＋２が素数となるのは、ｎ＝３、５、１１、１７、２９

　　　この中で、ｎ＋１が５の倍数であるｎは、　ｎ＝２９

　　　この中で、ｎ＋１が６の倍数でないｎは、　ｎ＝３

　　よって、　ｎ＝３、２９　　（終）


（コメント）　数学�U＋数学Ｂに比べ計算量が極端に少ないですね！


[２]　△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝３、ＢＣ＝５、∠ＡＢＣ＝１２０°とする。このとき、ＡＣ＝（　　）、
　　ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝（　　）であり、ｓｉｎ∠ＢＣＡ＝（　　）である。
　直線ＢＣ上に点Ｄを、ＡＤ＝３かつ∠ＡＤＣが鋭角、となるようにとる。点Ｐを線分ＢＤ上
　の点とし、△ＡＰＣの外接円の半径をＲとすると、Ｒの取り得る値の範囲は、
　（　　）≦Ｒ≦（　　）である。

（解）　ＡＣ²＝９＋２５−３０（−１/２）＝４９　より、　ＡＣ＝７

　　また、ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝/２　であり、ｓｉｎ∠ＢＣＡ＝３ｓｉｎ１２０°/７＝３/１４

　　ＡＰ＝３/２　のとき、Ｒは最小。　２Ｒ＝（３/２）/ｓｉｎ∠ＢＣＡ＝７　より、Ｒ＝７/２

　　ＡＰ＝３　のとき、Ｒは最大。　２Ｒ＝（３）/ｓｉｎ∠ＢＣＡ＝１４　より、Ｒ＝７

　よって、　７/２≦Ｒ≦７　　（終）


（コメント）　三角比の問題も何か迫力に欠けますね！


第３問　[１]　ある高校３年生１クラスの生徒４０人について、ハンドボール投げの飛距離の
　　　　　　　データを取った。次は、このクラスで最初に取ったデータである。

　　５〜１０　・・・　１人、１０〜１５　・・・　４人、１５〜２０　・・・　６人、２０〜２５　・・・　１１人
　２５〜３０　・・・　９人、３０〜３５　・・・　４人、３５〜４０　・・・　３人、４０〜４５　・・・　１人
　４５〜５０　・・・１人

（１）　この４０人のデータの第３四分位数が含まれる階級は、（　　）である。

（２）　このデータを箱ひげ図にまとめよ。

（３）　後日、このクラスでハンドボール投げの記録を取り直した。次に示したＡ〜Ｄは、最初
　　に取った記録から今回の記録への変化の分析結果を記述したものである。分析結果に
　　相応しい箱ひげ図をまとめよ。
　　　Ａ：どの生徒の記録も下がった。　Ｂ：どの生徒の記録も伸びた。
　　　Ｃ：最初に取ったデータで、上位１/３に入るすべての生徒の記録が伸びた。
　　　Ｄ：最初に取ったデータで、上位１/３に入るすべての生徒の記録は伸び、下位１/３に
　　　　入るすべての生徒の記録は下がった。

（解）（１）　第２四分位数は、小さい方から数えて、（１＋４０）/２＝２０．５番目であるので、

　　　　　第３四分位数は、（２０．５＋４０）/２＝３０．２５番目

　　　　　その数が含まれる階級は、　２５〜３０

（２）　第２四分位数は、（１＋２０．５）/２＝１０．７５番目で、その数が含まれる階級は、

　　　　　１５〜２０　である。第２四分位数が含まれる階級は、２０〜２５

　　　また、最小数が含まれる階級は、５〜１０　最大数が含まれる階級は、４５〜５０

　　　これらに注意して箱ひげ図を描けばよい。

（３）　（解答省略）　問題文の箱ひげ図を見れば、Ａ、Ｃの分析と異なる箱ひげ図になってい
　　　る。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（終）

（コメント）　教科書の問いレベルの出題ですね！他の問題とのレベルの格差に愕然ときま
　　　　　　す。この程度のデータ分析の問題を出題する意味はあるのでしょうか？


[２]　ある高校２年生４０人のクラスで一人２回ずつハンドボール投げの飛距離のデータを
　　取ることにした。次の図（省略）は、１回目のデータを横軸に、２回目のデータを縦軸に
　　とった散布図である。なお、一人の生徒が欠席したため、３９人のデータとなっている。

	平均値	中央値	分散	標準偏差
１回目のデータ	２４．７０	２４．３０	６７．４０	８．２１
２回目のデータ	２６．９０	２６．４０	４８．７２	６．９８

　１回目のデータと２回目のデータの共分散　５４．３０

　このとき、１回目のデータと２回目のデータの相関係数を求めよ。


（解）　相関係数＝５４．３０/（８．２１×６．９８）＝０．９４７５４８・・　より、約０．９５　　（終）


（コメント）　計算のためのデータがすべて与えられていて、面白みに欠けますね！


第４問　同じ大きさの5枚の正方形の板を一列に並べて掲示板を作り、壁に固定する｡赤色、
　　　　緑色、青色のペンキを用いて、隣り合う正方形どうしが異なる色となるように、この掲
　　　　示板を塗り分ける｡ただし、塗り分ける際には、３色のペンキをすべて使わなければな
　　　　らないわけではなく、２色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする｡

（１）　このような塗り方は、全部で（　　）通りある。
（２）　塗り方が左右対称となるのは、（　　）通りある｡
（３）　青色と緑色の２色だけで塗り分けるのは、（　　）通りある。
（４）　赤色に塗られる正方形が３枚であるのは、（　　）通りある。
（５）　赤色に塗られる正方形が１枚である場合について考える｡
　　・どちらかの端の１枚が赤色に塗られるのは、（　　）通りある｡
　　・端以外の１枚が赤色に塗られるのは、（　　）通りある｡
　よって、赤色に塗られる正方形が1枚であるのは、（　　）通りある。
（６）　赤色に塗られる正方形が２枚であるのは、（　　）通りある｡


（解）（１）　３×２×２×２×２＝４８（通り）

（２）　３×２×２＝１２通り

（３）　青緑青緑青　、緑青緑青緑　の２通り

（４）　２×２＝４（通り）

（５）　・　赤緑青緑青　、赤青緑青緑　、緑青緑青赤　、青緑青緑赤　の４通り

　　・　（２×２×１×１）×３＝１２（通り）

　　よって、　４＋１２＝１６（通り）

（６）　４８−２−４−１６＝２６（通り）


（コメント）　教科書の練習レベルの問題。特に、（６）は付け足しの問題という雰囲気ですね！


第５問　以下では、ａ＝７５６とし、ｍは自然数とする。
（１）　ａを素因数分解すると、　ａ＝２^（　　）・３^（　　）・（　　）　である｡
　　ａの正の約数の個数は（　　）個である｡
（２）　√（ａｍ）が自然数となる最小の自然数ｍは（　　）である｡√（ａｍ）が自然数となるとき、
　　ｍはある自然数ｋにより、ｍ＝（　　）ｋ²と表される数であり、そのときの√（ａｍ）の値は
　　（　　）ｋである。
（３）　次に、自然数ｋにより、（　　）ｋと表される数で、１１で割った余りが１となる最小のｋを
　　求める｡１次不定方程式（　　）ｋ−１１ｔ＝１を解くと、ｋ＞０となる整数解（ｋ，ｔ）のうちｋが
　　最小のものは、ｋ＝（　　）、ｔ＝（　　）である｡
（４）　√（ａｍ）が１１で割ると１余る自然数となるとき、そのような自然数ｍのなかで最小の
　　ものは（　　）である


（解）（１）　ａ＝７５６＝２²・３³・７　である。ａの正の約数の個数は、３×４×２＝２４個である。

（２）　√（ａｍ）が自然数となる最小の自然数ｍは、ｍ＝３・７＝２１である｡

　　√（ａｍ）が自然数となるとき、ｍはある自然数ｋにより、ｍ＝２１ｋ²と表される数であり、

　そのときの√（ａｍ）の値は、１２６ｋである。

（３）　自然数ｋにより、１２６ｋと表される数で、１１で割った余りが１となる最小のｋを求める｡

　１次不定方程式１２６ｋ−１１ｔ＝１において、１２６（−２）−１１（−２３）＝１　より、

　１２６（ｋ＋２）＝１１（ｔ＋２３）　なので、　ｋ＋２＝１１ｓ、ｔ＋２３＝１２６ｓ　（ｓは整数）

　　ｓ＝１　のとき、　ｋ＝９　、ｔ＝１０３

（４）　ｋ＝９　のとき最小で、求めるｍは、ｍ＝２１・９²＝１７０１　　（終）


（コメント）　高校入試の頻出問題のレベルですね！ただ、ユークリッドの互除法を用いる（３）
　　　　　　は数学Ａの一つの指導レベルを示していて良問だと思いました。


第６問　△ABCにおいて、AB＝AC＝５、BC＝とする｡辺AC上に点DをAD＝３となるよう
　　　　　にとり、辺BCのBの側の延長と△ABDの外接円との交点でBと異なるものをEとする｡

　ＣE･ＣB＝（　　）であるから、BE＝（　　）である。△ACEの重心をGとすると、AG＝（　　）で
ある。ABとDEの交点をPとすると、DP/ＥＰ＝（　　）である。

　△ABCと△EDCにおいて、点A、B、D、Eは同一円周上にあるので、∠CAB＝∠CEDで、
∠Cは共通であるから、DE＝（　　）である｡

　よって、　ＥＰ＝（　　）である。


（解）　方べきの定理より、　ＣE･ＣB＝ＣＤ・ＣＡ＝２・５＝１０　であるから、ＢＥ＝ｘ とおくと、

　　　（＋ｘ）＝１０　より、＋ｘ＝２　なので、ｘ＝　　よって、　ＢＥ＝

　このとき、　AG＝５×２/３＝１０/３

　メネラウスの定理より、　（１/１）・（５/３）・（ＤＰ/ＥＰ）＝１　より、　ＤＰ/ＥＰ＝３/５

　条件より、　△ABC∽△ＥＤＣ　なので、　ＤＥ＝ＥＣ＝２

　よって、　ＥＰ＝（５/８）（２）＝５/４　である。


（コメント）　△ＡＢＣと円の位置関係を正しく把握しないといけない問題ですね！


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年１月２９日付け）

　センター試験に対する上記の解答とコメントを拝見して思った事なんですが、自分も新聞で
の記事を参考に挑戦してみました。私の実力の無さ（しばらく大学入試問題から疎遠になっ
ている：言い訳になりますが・・）からとても完璧に正解を時間内に出すことができませんでし
た。

　特に、数学�T＋数学Ａ分野の問４は勘違いが甚だしく、一ヶ所勘違いをしていると、それに
引きずられて、ずらりと間違いが連続しました。また、統計分野は自分が高校の時には一切
学習することは無く、文章題に含まれる語句について全く意味がわからない内容がありまし
た。

　不特定多数が挑むセンター試験の性格においては、私はこんな高校の学習内容の基本を
身につけていれば誰でも解答できるような問題こそふさわしいのではないかと思います。

　よく入試問題説明会などで解答正解率8％でしたなど報告されているのを聞くことがありま
すが、緊張している受験生にとって見たこともない問題（それも一工夫も二工夫も捻られてい
る問題）に対した場合それはパニックを引き起こす何物でもありません。

　入試問題を作成される数学者は、それは毎日が数学漬けでその人にとっては見た瞬間そ
の問題の本質を見抜ける力があるのでしょうが、まだまだいろんな事を大量に学習せねば
ならない平均的高校生にとっては、あまりに高い目標設定は残酷です。

　私は現在定年退職しておりますが、以前高校生を指導していた経験から申しますと、学校
の定期考査を十分理解して処理出来る力さえ与えられたら、それで対応できる入試にして
頂きたいのです。

　センター試験にはいろいろなタイプの高校生が挑戦します。勿論数学が得意な学生にとっ
てはセンター数学は物足りないかも知れません。しかし、中には２次方程式の解の公式も正
確に暗記してない学生もいます。だからと言って、この学生が数学の才能が無いとは決して
言えません。

　高度な内容の習得には、まず基本とも言える部分が確認できその後はその人次第で勉強
できる環境を与えてやれば自然と本人がやり始めるのではないでしょうか。


（コメント）　センター試験問題は、高校で学んだ基本的な事項の確認テストだと認識してい
　　　　　　ます。つまり、センターの問題は、その世代に求められている数学の水準を表す
　　　　　　一つの指標と考えられます。その視点で、過去からのセンター試験問題を眺めた
　　　　　　場合、大分数学の水準が下がっているな〜というのが率直な感想です。


　通りすがりさんからのコメントです。（平成２７年４月１０日付け）

　Ｗｅｂサイト「受験の月」に、なぜ受験生は難しいと感じたかという観点からの解説が掲載
されていますので参考まで。


（コメント）　通りすがりさん、大変参考になりました。結局の所、出題者の意図に反して、受
　　　　　　験生側の力量不足というところでしょうか？