If M,N are vector subspaces of V, is (M+N)^o=M^o∩N^o?
If so, prove it. Can this be used to prove that (M∩N)^o=M^o+N^o? How?
という問題です。
M^oはMのannihilator（零化イデアル）、つまり、M^o:={f∈L(V);f(M)={0}}、つまり、M^oは、
f(M)={0} なるVからVへの線形変換の集合です。
(M+N)^o=M^o∩N^o … (ア)
は自分で示せましたが、この(ア)をどう使って、(M∩N)^o=M^o+N^o が示せるのでしょうか?
(M∩N)^o⊃M^o+N^oについては、∀f+g∈M^o+N^oを採ると(但し、f∈M^o、g∈N^o…(イ))
f(M)={0}、g(N)={0} だから(annihilatorの定義より)、
(f+g)(M∩N)=f(M∩N)+g(M∩N)={0}+{0} （←(イ)より）
={0}
従って、f+g∈(M∩N)^o と示せました。
それで、(M∩N)^o⊂M^o+N^o を示すのに、(ア)を用いるのかと思いましたが．．．。
とりあえず、∀f∈(M∩N)^o を採ると、f(M∩N)={0} ですが、この f に対し、
f=g+h なる g∈M^o、h∈N^o が存在する事はどうすれば示せるのでしょうか?
空舟さんからのコメントです。（平成２６年１２月１２日付け）
次のように考えました。
・M^oはL(V)の部分線形空間になります
・L(V)の部分線形空間Fに対して、F^o = {v∈V ; f(v)=0 for all f∈F}というものを考えて、特に、
F=M^oとして、M^o^o={v∈V; f(v)=0 for all f∈M^o}というものを考えると
v∈M ならば、v∈M^o^oは明らか
v∈M でないvに対しては、f(M)=0 かつ f(v)≠0 となる線形写像fをとれるので、v∈M^o^oで
ない。
従って、M^o^o = M が成り立つ
・一番目に示した式をM、Nの代わりに、M^o, N^o⊂L(V)で適用して、
(M^o+N^o)^o = M^o^o∩N^o^o より、(M^o+N^o)^o = M∩N
よって、(M^o+N^o)^o^o = (M∩N)^o が成り立ち、M^o+N^o = (M∩N)^o である。
