自然数全体は、
ζ(s)：=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+･･･+1/n^s+･･･
=(1+1/2^s+1/4^s+1/8^s+･･･)(1+1/3^s+1/9^s+1/27^s+･･･)(1+1/5^s+1/25^s+1/125^s+･･･)･･･
=1/(1-1/2^s)*1/(1-1/3^s)*1/(1-1/5^s)*･･･*1/(1-1/p^s)*･･･ (p:prime)
という関係式（オイラー積）という見事な繋がりで、あの捉え所がない素数と深い関係が成立
していることを教えてくれる。
つまり、自然数は素数にコントロールされており、いわば素数の材料での料理が自然数と
みなされる。
素数にもいろいろなタイプのものに分類され、材料の素数の選び方によって出来上がる料
理の自然数の性質も自ずと異なってくる。
この見方を逆に辿れば、素数も自然数全体によってコントロールされていることにもなり、
前から素数の逆数和が、自然数全体とどの様に関係しているか、きっと何かしら関係を持
つはずだと気になっていた。
このことに関して、次の関係式が存在することに、このほど知るところとなったので報告し
てみます。
Σ[p：素数全体]1/p^s
=Σ[k=1,∞]μ(k)/k*log(ζ(s*k))
=1/1*log(ζ(s))-1/2*log(ζ(2s))-1/3*log(ζ(3s))-1/5*log(ζ(5s))+1/6*log(ζ(6s))
-1/7*log(ζ(7s))+1/10*log(ζ(10s))-1/11*log(ζ(11s))-1/13*log(ζ(13s))
+1/14*log(ζ(14s))+1/15*log(ζ(15s))-1/17*log(ζ(17s))-1/19*log(ζ(19s))+･･･
ここに、ζ(s)：リーマンゼータ関数で、
μ(k)：メビウスミュー関数＜ （k が平方因子を持つ（平方数で割り切れる）とき）μ(k) = 0
k が相異なる偶数個の素数の積ならば μ(k) = 1
k が相異なる奇数個の素数の積ならば μ(k) = -1＞
この関係式が、どのようにして導けるのかは書いてありませんでしたが、計算で確認して
みました。
素数を1〜1000000までに含まれる全てのもので計算してみると、
1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+･･･=0.07699313976424684491903234848･･･
一方、 Σ[k=1,40]μ(k)/k*log(ζ(2*k))=0.07699313976424684494261929586･･･
1/2^3+1/3^3+1/5^3+1/7^3+･･･=0.1747626392994085572606552274･･･
一方、 Σ[k=1,30]μ(k)/k*log(ζ(3*k))=0.1747626392994435364231133147･･･
1/2^4+1/3^4+1/5^4+1/7^4+･･･=0.07699313976424684491903234848･･･
一方、 Σ[k=1,20]μ(k)/k*log(ζ(4*k))=0.07699313976424684494261929586･･･
と、殆ど一致させてくれます。
（私の計算機ではζ(90)位までしか有効数字がとれませんので・・・）
長年探していた関係式に出会えて嬉しいです。まさに素数と自然数は葛折りよろしく見事
に縦糸横糸が絡み合った美しいタペストリーの様です。
