・オイラーの予想                       GAI 氏

 フェルマー予想(今では大定理): xn+yn=zn (n≧3) を満たす自然数は存在しない。
に対しオイラーは、

 x1n+x2n+・・・+xn-1n=yn には自明な解以外の整数解を持たない

と予想した。それというのも当時、33+43+53=63 は成立するのに、x3+y3=z3 をいくら
探しても解がみつからないし、304+1204+2724+3154=3534 は成立するのに、

   x14+x24+x34=y4 ・・・・・・・・・・・・(*)

をいくら探しても解がみつからない。195+435+465+475+675=725 は成立するのに、

   x15+x25+x35+x45=y5 ・・・・・・・・・・・・(**)

をいくら探しても解がみつからない、という事情があったのであろう。

 ところが、(*)に関しては、1988年頃、

  958004+2175194+4145604=4224814
  126824404+153656394+187967604=206156734 (その他多数)

 (**)に関しては、1966年: 275+845+1105+1335=1445
           2004年: 852825+289695+31835+555=853595

が発見されて、さすがのオイラーの予想も否定されたとの情報を読んだ。

 したがって、次の

 x16+x26+x36+x46+x56+x66=y6 及び x16+x26+x36+x46+x56=y6

の実例が知りたくなった。いろいろ計算したり、調べ物をするも途方に暮れている。この辺
の事情通の方知りませんか?


 DD++さんからのコメントです。(平成26年11月11日付け)

 英語版 Wikipedia の「Euler's sum of powers conjecture」によると、n=6 の反例はまだ見つ
かっていないみたいですよ。n=7 や n=8 は既に見つかっているみたいですが...。
(訂正)n=7と8も後者(n項ある方)だけでした。n-1項の方はまだn≦5しか見つかってないよ
    うですね。


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