・オイラーの予想　　　 　　 　 　 　　　 　 　 　 　 ＧＡＩ 氏

　フェルマー予想（今では大定理）： ｘⁿ＋ｙⁿ＝ｚⁿ　(ｎ≧３) を満たす自然数は存在しない。
に対しオイラーは、

　ｘ₁ⁿ＋ｘ₂ⁿ＋・・・＋ｘ_n-1ⁿ＝ｙⁿ には自明な解以外の整数解を持たない

と予想した。それというのも当時、３³＋４³＋５³＝６³　は成立するのに、ｘ³＋ｙ³＝ｚ³ をいくら
探しても解がみつからないし、30⁴＋120⁴＋272⁴＋315⁴＝353⁴ は成立するのに、

　　　ｘ₁⁴＋ｘ₂⁴＋ｘ₃⁴＝ｙ⁴ ････････････(*)

をいくら探しても解がみつからない。19⁵＋43⁵＋46⁵＋47⁵＋67⁵＝72⁵ は成立するのに、

　　　ｘ₁⁵＋ｘ₂⁵＋ｘ₃⁵＋ｘ₄⁵＝ｙ⁵ ････････････(**)

をいくら探しても解がみつからない、という事情があったのであろう。

　ところが、(*)に関しては、1988年頃、

　　95800⁴＋217519⁴＋414560⁴＝422481⁴
　　12682440⁴＋15365639⁴＋18796760⁴＝20615673⁴　（その他多数）

　(**)に関しては、1966年：　27⁵＋84⁵＋110⁵＋133⁵＝144⁵
　　　　　　　　　　　2004年：　85282⁵＋28969⁵＋3183⁵＋55⁵＝85359⁵

が発見されて、さすがのオイラーの予想も否定されたとの情報を読んだ。

　したがって、次の

　ｘ₁⁶＋ｘ₂⁶＋ｘ₃⁶＋ｘ₄⁶＋ｘ₅⁶＋ｘ₆⁶＝ｙ⁶　及び　ｘ₁⁶＋ｘ₂⁶＋ｘ₃⁶＋ｘ₄⁶＋ｘ₅⁶＝ｙ⁶

の実例が知りたくなった。いろいろ計算したり、調べ物をするも途方に暮れている。この辺
の事情通の方知りませんか？


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年１１月１１日付け）

　英語版 Wikipedia の「Euler's sum of powers conjecture」によると、n=6 の反例はまだ見つ
かっていないみたいですよ。n=7 や n=8 は既に見つかっているみたいですが．．．。
（訂正）n=7と8も後者（n項ある方）だけでした。n-1項の方はまだn≦5しか見つかってないよ
　　　　うですね。