[A] Series[Product[(1+x^(2k))/(1-x^(2k-1)), {k, 100}], {x, 0, 20}]
[B] Series[Product[1+x^k+x^(2k)+x^(3k), {k, 100}], {x, 0, 20}]
[C] Series[Product[(1 - x^(4 k))/(1 - x^k), {k, 100}], {x, 0, 20}]
から展開したｘnの係数の列が何れも
[ 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 16, 22, 29, 38, 50, 64, 82, 105, 132, 166, 208, 258, 320,･･･]
と、同じ係数が出現する。
（これは自然数を４の倍数でないものの分割和で表す方法の母関数を表す。）
例 4 => {{3, 1}, {2, 2}, {2, 1, 1}, {1, 1, 1, 1}} から、4通り
5 => {{5}, {3, 2}, {3, 1, 1}, {2, 2, 1}, {2, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1}} から、6通り
6 => {{6}, {5, 1}, {3, 3}, {3, 2, 1}, {3, 1, 1, 1}, {2, 2, 2},
{2, 2, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1}} から、9通り
このとき、[B]⇔[C] の関係は理解できるんですが、[A]⇔[C] の関係がなぜ起こるんだろう
と不思議です。
(1+x2k)/(1-x2k-1)=(1+x2k)(1-x2k)/｛(1-x2k-1)(1-x2k)｝ だから、(1-x4k)/(1-x2k-1-x2k+x4k-1)
なら解るんですが・・・?
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年１０月２６日付け）
(C)={(1-x4)(1-x8)(1-x12)…}/{(1-x)(1-x2)(1-x3)…}
={(1+x2)(1+x4)(1+x6)…}{(1-x2)(1-x4)(1-x6)…}/{(1-x)(1-x2)(1-x3)…}
={(1+x2)(1+x4)(1+x6)…}/{(1-x)(1-x3)(1-x5)…}
=(A)
ですね。
# 有限項の積ならば式全体は等しくなりませんが、次数の低い方の係数は一致しますね。
