22.5°の正接の解法は、問題集では半角の公式での解き方が多いですが、ここでは２倍
角の公式を用いて解いてみます。
22.5°=αとおくと、2α=45°であるから、tan2α=1 すなわち、 2tanα/(1-tan2α)=1
整理して、 tan2α＋2tanα-1=0 より、 tanα=-1±
ここで、22.5°は鋭角で、tanα＞0 より、tanα=-1＋
すなわち、tan22.5°=-1＋２倍角の公式だと、半角の公式のような煩雑な平方根の計算がない分、楽かもしれません
が、分数方程式の解法があるため、苦手な方にはネックかもしれません。もちろん、同様の
解法で、tan15°の値を求めることができますが、それは各自に任せます。
（コメント） 22.5°に対しては倍角または半角の公式を用いて求めるのが常であったが、最
近、角の２等分の性質を使う方法もあることを知った。
Ａ＝４５°、Ｂ＝９０°、ＡＢ＝１ の直角三角形ＡＢＣにおいて、∠Ａの２等分線が辺ＢＣと交
わる点をＤとおくと、角の２等分の性質から、 ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝１：
よって、 ＢＤ＝１×（１/（１＋
））＝−１ なので、tan22.5°＝ＢＤ/ＡＢ＝
−１．．．とこんなことを書いていたら、DD++さんとかぶりました。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年９月２３日付け）
私はこれが一番楽だと思ってます。
AB=AC=1 の直角二等辺三角形において、角Bの二等分線と辺ACの交点をDとします。
CD：DA=
：1 なので、AD=1/(+1)=-1 すなわち、 tan22.5°=-1もっと楽な方法ありますかね？
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年９月２３日付け）
こういうのはどうでしょう。
AB=AC=
の直角二等辺三角形で、BCの中点をD、∠BADの二等分線とBCの交点をEとすると、
∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠ABD+∠EAB=∠CEA から、EC=AC=
なので、tan22.5°=ED/AD=(EC-DC)/AD=EC/AD-DC/AD
ここで、 ＥＣ=
、AD=1 、DC=AD なので、 tan22.5°=-1（コメント） なるほど！有理化の手順が省けるのですね．．．。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年９月２３日付け）
なるほど。というか、そこまで大仰な図を書かなくても、次でいいですね。
AB=AC=
、 ∠A=45° の二等辺三角形において、点Bから辺ACに下ろした垂線の足をDとする。AD=1 より、 DC=
-1 で、また、BD=1さらに、 ∠CBD=67.5°-45°=22.5° なので、 tan22.5°=
-1（コメント） なるほど！図が巧妙ですね．．．。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年９月２３日付け）
なるほど、それが一番簡単そうです。（平成２６年９月２３日付け）
当ＨＰ読者のＨＮ「オチカ」さんからのコメントです。
はじめまして、オチカと申します。いつも楽しく読ませていただいています。
上記を読んでふと思ったことなのですが、A4などの用紙があれば、「22.5°」が作れるんで
すね。
AB：BC＝
：1 となる長方形ABCDの紙を、辺BCが辺ABと重なるように折ると、AC：AD＝
-1：1ですから、∠ADC＝22.5°になりますよね。中途半端に思える角度が身近な物で作れるとい
うことに少し感動を覚えたので投稿させていただきました。
（コメント） なるほど！そうなっているんですね．．．。オチカさんに感謝いたします。
