・硬貨の表と裏　　 　　　　　　 　 　 　　　 　 　 　 　 ＧＡＩ 氏

　次のものが同じであるとは直感では気づけなかった。

Π_k=1〜n ｋ！＝Π_k=1〜n ｋ^n+1-k

Π_k=1〜n ｋ^k＝Π_k=1〜n ｎ！/(ｋ−１)！


（コメント）　ｎ＝３としてみると、

　　１！×２！×３！＝１×（２×１）×（３×２×１）＝１³×２²×３¹

　　１¹×２²×３³＝（１×２×３）×（２×３）×３
　　　　　　　　　　＝（１×２×３）×｛（１×２×３）/１｝×｛（１×２×３）/（１×２）｝
　　　　　　　　　　＝３！×｛３！/１！｝×｛３！/２！｝

という見方なんですね。納得！


（追記）　平成２６年９月２０日付け

　上記に関連して、全く偶然に別の本から目にした記事を報告します。次のような面白い数
値が存在することを知りました。

　G(n+1)＝Π_k=1〜n ｋ！　　　(多分、ｎ！＝Γ(n+1)　とすることに対応させるため。)
　K(n+1)＝Π_k=1〜n ｋ^k

と置くと、　G(n+1)＝(ｎ！)ⁿ/K(n+1) が成り立ち、

そこで、スターリングの近似公式

　　ｎ！≒√(2πn)*(n/e)^n　⇔　lim_ｎ→∞ {n!/(e^(-n)*n^(n+1/2)}=√(2π)≒2.506628･･･

と同じように、

lim_ｎ→∞ {K(n+1)/(e^(-n^2/4)*n^(n^2/2+n/2+1/12))}=A≒1.2824271291･･･（Glaisher定数）
⇔
Π_k=1〜n ｋ^k≒1.2824271291*(e^(-n^2/4)*n^(n^2/2+n/2+1/12))　 (as n--∞)

また、

lim_ｎ→∞ {G(n+1)/(e^(-3*n^2/4)*(2π)^(n/2)*n^(n^2/2-1/12))}=e^(1/12)/A≒0.8475366942･･･
⇔
Π_k=1〜n ｋ！≒0.8475366942*(e^(-3*n^2/4)*(2π)^(n/2)*n^(n^2/2-1/12))  (as n--∞)

が起こるという。

　これで決まるGlaisher定数A(Mathematica のソフトでは数学定数として組み込まれている）はまた、

A=exp(1/12-ζ'(-1))=exp(-ζ'(2)/(2π^2)+(log(2π)+γ)/12)
(ここにζ'(x)はRiemannのゼータ関数の導関数で、γはオイラー・マスケロニ定数（0.57721566･･･））

で表されるという。さらに、H(n,k)=Π[i=1,n]i^(i^k) 　(k=0 なら n!、k=1 なら K(n+1)） に対して、

n→∞での不変量A(k) がそれぞれ決まり、

　A(k)=exp(B(k+1)/(k+1)*Σ[j=1,k](1/j)-ζ'(-k))　　(ここに、B(n)はｎ次のベルヌーイ数）

で与えられるという。これから、

A(0)=2.506628275･･･-->=√(2π):from  Stirling  formula
A(1)=1.282427129･･･-->=Glaisher Constance(=Exp(1/12-Zeta'[-1]))
A(2)=1.030916752･･･
A(3)=0.9795555269･･･
A(4)=0.9920479745･･･
A(5)=1.009680387･･･
A(6)=1.005917197･･･
A(7)=0.9899756533･･･
A(8)=0.9917183216･･･
A(9)=1.018469930･･･
･･････････

なる不変量が存在していくことがでてくる。本当にいろいろなことが奥深いところでは繋がって
いることを想像させます。