・平方数調査 ＧＡＩ 氏
ａn＋ｂ が平方数になるもの(２≦ａ≦９、−９≦ｂ≦９、１≦ｎ≦１００）の調査
| a b n | a b n | a b n | a b n | ||||
| 2 -8 3 2 -7 3 2 -7 4 2 -7 5 2 -7 7 2 -7 15 2 -4 2 2 -4 3 2 -3 2 2 -2 1 2 -1 1 2 1 3 2 2 1 2 4 5 2 5 2 2 7 1 2 8 3 2 9 4 |
3 -9 2 3 -8 2 3 -5 2 3 -3 1 3 -2 1 3 -2 3 3 1 1 3 6 1 3 7 2 3 9 3 4 -7 2 4 -4 1 4 -3 1 4 5 1 4 9 2 |
5 -9 2 5 -5 1 5 -4 1 5 -4 3 5 -1 1 5 4 1 6 -6 1 6 -5 1 6 -2 1 6 3 1 6 9 3 7 -7 1 7 -6 1 7 -3 1 7 2 1 7 9 1 |
8 -8 1 8 -7 1 8 -7 5 8 -4 1 8 1 1 8 8 1 9 -9 1 9 -8 1 9 -5 1 9 7 1 |
なお、ｂ＝０ の時は、ａ＝２、３、５、６、７、８ で ｎ は偶数、ａ＝４、９ で ｎ は任意。
（追記） 令和２年１２月２９日付け
ＧＡＩさんの平方数調査に関連する問題が第２３回アジア太平洋数学オリンピック（２０１１）
に出題されていることを最近知った。以下は、それを改題したものである。
問題 ａ、ｂを正の整数とするとき、 ａ2＋ｂ 、ｂ2＋ａ の両者がともに平方数になること
はないことを示せ。
（解） ａ2＋ｂ 、ｂ2＋ａ の両者がともに平方数になると仮定すると、２つの不等式
ａ2＋ｂ≧（ａ＋１）2 、ｂ2＋ａ≧（ｂ＋１）2
が成り立つ。すなわち、 ｂ≧２ａ＋１ かつ ａ≧２ｂ＋１ である。
２つの不等式を辺々加えると、 ａ＋ｂ≧２（ａ＋ｂ）＋２ すなわち、 ａ＋ｂ≦−２
ところが、ａ、ｂは正の整数なので、 ａ＋ｂ＞０ でなければならず、これは矛盾である。
よって、ａ2＋ｂ 、ｂ2＋ａ の両者がともに平方数になることはない。 （終）
（コメント） 証明の仕方に思わず心引かれました。この手法はいろいろ使えそうですね！
