・　実数の個数は数えられない　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　ものの個数は、「ひとつ、ふたつ、みっつ、・・・」と声を出しながら数えるという人が多い。声を
出さないまでも、頭の中で、ものと、自然数「１、２、３、・・・」を、１対１に対応させて数えている
はずである。このような考え方を一般化して、無限を数えたのが、カントールの集合論である。

　その中で活躍する、「対角線論法」という証明方法は、とても感動的である。

　０ から １ までの実数全体は、「ひとつ、ふたつ、みっつ、・・・」とは数えられない。このことは、
次のようにして示される。

　いま、「ひとつ、ふたつ、みっつ、・・・」と数えられるものと仮定する。そうすると、次の表のよ
うに、０ から １ までの実数は、すべて順番に並べられる。

　そこで、ａ₁　と異なる数を　ａ’₁、ｂ₂　と異なる数を　ｂ’₂、・・・　として、新しく実数

　　　　　　　０．ａ’₁ｂ’₂ｃ’₃ｄ’₄・・・

を作ると、この実数は、上の表にない実数となる。（必ず、どこかの桁で異なる数だから。）
これは、０ から １ までの実数を、すべて順番に並べたことに矛盾する。
したがって、０ から １ までの実数は、「ひとつ、ふたつ、みっつ、・・・」とは数えられない。