・有理数を表す分数式 　 　　 　　　　 　 　 　 　 　 　 ａｔ 氏

　気が向いたら、次の問題を考えてみてください。

問題　任意の正の有理数 r に対して、r = (a³ + b³)/(c³ + d³)　となるような正の整数 a，b，
　　　　c，d が存在することを示せ。

　例えば、r = 2014/89 に対しては、
a=15245564020815625，b=5028023793584375，c=4995666418340864，d=3348083581659136
とすれば、(a³ + b³)/(c³ + d³) = r となります。)


　DD++さんが考察されました。（平成２６年８月１５日付け）

　r=p/q とし、3＜r・(s/t)³＜9 となるような自然数 s，t を探します。有理数の稠密性より、こ
のような s，t は必ず存在します。このとき、

　a=3ps³t+9qt⁴　、b=3ps³t-9qt⁴　、c=ps⁴+9qst³　、d=-ps⁴+9qst³

とすると、　b=3qt⁴(r・(s/t)³-3)＞０　、c=qst³(-r・(s/t)³+9)＞０　より、これらは全て自然数で
あり、恒等式 (a³ + b³)/(c³ + d³) = p/q が成立します。

　実際に、　a³ + b³=54p³s⁹t³+1458pq²s³t⁹=p(54p²s⁹t³+1458q²s³t⁹)
　　　　　　　c³ + d³=54p²qs⁹t³+1458q³s³t⁹=q(54p²s⁹t³+1458q²s³t⁹)
　　　　　より、　(a³ + b³)/(c³ + d³) = p/q が成り立つ。

　例として、2014/89 の場合は、2014/89*(2/3)³=6．70…… なので、p=2014、q=89、s=2、t=3
として、　2014/89 = (209889³+80127³)/(75478³+11030³) とできます。

　もっと簡単な恒等式も作れるでしょうかね？


（コメント）　ｒ から、ａ、ｂ、ｃ、ｄ を実際に構成されているわけで、感動的ですね！


　ａｔ さんからのコメントです。（平成２６年８月１５日付け）

　DD++さん、この問題を考えていただき、ありがとうございます。DD++さんの解法は鮮やか
ですね。見事に証明できていると思います。以下は別解です。

(1) 1/2 < r < 2 の場合、r=n/m (n、mは正の整数)とする。

　　　a=m+n、b=2n-m、c=m+n、d=2m-n とすれば、(a³ + b³)/(c³ + d³) = r となる。

(2)　r が一般の有理数の場合、整数sを適当に選べば、1/2 ＜ (64/125)^s・r ＜ 2 となる。

　s＞0 のときは、p=4^s、q=5^s、 また、 s＜0 のときは、 p=5^-s、q=4^-s とおくことによって、

　1/2 ＜ (p/q)³・r ＜ 2 となる。このとき、(1)より、ある正の整数A、B、C、Dを用いて、

　　 (p/q)³・r=(A³ + B³)/(C³ + D³)

と表せる。よって、 a=Aq、b=Bq、c=Cp、d=Dp とすれば、(a³ + b³)/(c³ + d³) = r となる。


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月１５日付け）

　「a=m+n、b=2n-m、c=m+n、d=2m-n とすれば、(a³ + b³)/(c³ + d³) = r」とは．．．おお、そ
んな組み合わせが．．．素晴らしい。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年８月１５日付け）

　どうも三乗和には、フェルマーの大定理「x³+y³=z³ を満たす自然数が存在しない」に引き
ずられて、敬遠する心理があるが、どんな有理数でも成り立つというものすごい条件下で、
この三乗和（しかも、その２つの商）にこんな強力な法則が存在しているなんてビックリです。
半日は、この問題にあれこれ挑戦しておりましたが、どこから攻めても跳ね返されていました。

　DD++さんのいつものような、どこからこんな解法を思い付くんだろうという手法の見事さに
圧倒され、ここに書かれた情報を元にあらゆる有理数とはいきませんが、そのほんの一部
である以下の有理数を構成してみました。確かに作れることに改めて驚いています。

（→　数式の例）


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月１５日付け）

　最小とはだいぶかけ離れた数になりますけどね。問題を見て最初に整数について人力でこ
こまで作ったりしていましたが、この式で作ったものはこれよりだいぶ大きくなると思います。

1=(1^3+1^3)/(1^3+1^3)
2=(8^3+10^3)/(3^3+9^3)
3=(17^3+37^3)/(21^3+21^3)
4=(3^3+9^3)/(4^3+5^3)
5=(6^3+9^3)/(4^3+5^3)
6=(3^3+3^3)/(2^3+1^3)
7=(9^3+12^3)/(2^3+7^3)
8=(2^3+2^3)/(1^3+1^3)
9=(63^3+63^3)/(17^3+37^3)
10=(1^3+19^3)/(7^3+7^3)
11=見つけられず
12=(42^3+84^3)/(17^3+37^3)
13=(9^3+12^3)/(4^3+5^3)
14=(1^3+3^3)/(1^3+1^3)

　これでも最小（一応、4数のうち最大のもので比較するとしましょう）ではないものもあると思
いますが．．．。また、私の発想の痕跡を記しておきます。

　3乗和が難しいのは、何か置き換えたときに項数が増えるからなんですよね。そこで3乗和
を (x+y)³+(x-y)³ と考えることで、 2x(x²+3y²) と項数をある程度抑えることを考えました。
あとはこの和をどうするかですが、分母側にも同じような和が出てくるので、
(x²+3y²)/((3y)²+3x²)=1/3 という形にすることで消します。すると単純な分数になるので、余
計な3をうまく打ち消すのと、整数が全部正になるように帳尻合わせをしてあの形になります。