微分可能の問題で大変困っています。
[定義] A、Bを、n×n正値エルミート行列、ｒ を 0＜ｒ≦1 なる実数とする時、
Ar＝U*diag(λ_1r，λ_2r，…，λ_nr)U
(但し、Uはユニタリ行列、λ_1,λ_2,…,λ_nは、Aの固有値)
と定義します。(指数行列の定義)
その時、行列式|A+xB|rは、x=0 (xは実変数) で微分可能となることが分かりません。
A+xB はエルミート行列で、x=0 の時、A+xBは正値エルミートとなります。
先ず、A+xB=U*diag(λ_1，λ_2，…，λ_n)U と対角化されたとします。
A+xB＝U*diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)U
⇔
(A+xB)r＝U*diag(λ_1r，λ_2r，…，λ_nr)U
と言えますよね。でも、これらλ_1,λ_2,…,λ_n や U は、x に依存してるから、
(A+xB)r＝U(x)*diag(λ_1(x)r，λ_2(x)r，…，λ_n(x)r)U(x)
と書いた方がベターかもしれません。よって、その行列式は、
|A+xB|r＝λ_1(x)rλ_2(x)r…λ_n(x)r
と求まりますが、ここからどうやって x=0 で、λ_1(x)rλ_2(x)r…λ_n(x)r が微分可能である事
が言えるのでしょうか？
DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月１４日付け）
行列の r 乗の定義が与えられていますが、問題は行列式の r 乗でいいんですよね？だと
すれば以下の順で考えたらよさそうに思いますがどうでしょう。
1. f(x) = |A+xB| は高々 n 次の整式なので (-∞,∞) で微分可能
2. f(0) = |A| > 0
3. g(x) = xr は (0,∞) で微分可能
4. 1〜3より g(f(x)) = |A+xB|r は x=0 で微分可能
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月１４日付け）
指数ｒが実数なので、(d/dx)|A+xB|r は右微分しか定義できないと思います。
(底は非零でなければらない)
limx→0+ (|A+(0+x)B|r-|A|r)/x は存在するのでしょうか?
でも、ｘが十分小さければ、|A+xB|＞0 なので、左微分も定義できますね。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月１４日付け）
その辺りはもちろん厳密に議論する必要があります。この場合、|A|は正定数なので、g(x)
の微分可能性をそれより狭い範囲で考えれば大丈夫なはずです。
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月１４日付け）
有難うございます。お蔭様で上手くいきました。あと一つ難問が．．．。
A:=
a_11,\bar{a}_21,…,\bar{a}_n1
a_21,a_22,…,\bar{a}_n2,
:
a_n1,……,a_nn
という正値エルミート行列
X:=
x_11,\bar{x}_21,…,\bar{x}_n1
x_21,x_22,…,\bar{x}_n2,
:
x_n1,……,x_nn
は各成分が変数でdetX＞0なるものとする時、f：{n×n正値エルミート行列}→Rを
f(X):=1/(n!/((n-1)!1!))[det(a_1,x_2,…,x_n)ｔ+det(x_1,a_2,x_3,…,x_n)ｔ+…+det(x_1,x_2,…,x_{n-1},a_n)ｔ]
=(1/n)[det(a_1,x_2,…,x_n)ｔ+det(x_1,a_2,x_3,…,x_n)ｔ+…+det(x_1,x_2,…,x_{n-1},a_n)ｔ]
(ここで、n!/((n-1)!1!)のn-1と1は何処から来たかと言うと、Xからn-1個の行とAから1個の行を選んでできる組み
合わせという意味です)
とすると、f(A)=det(A)となります。それで、f(X)の値域はどうなるかという問題なのですが、
f(X)を展開すると、
x_11,x_22,…,x_nn,x_21,…,x_nn-1,…,x_n
を変数とする多項式となりますよね。各変数は色々な値を取れるので、f(X)の下限は0で上
には非有界となるような気がするのですが、値域はどうすれば求まるのでしょうか?
因みに、
f(X)=(1/n!)[|A+(n-1)X|-(n-1)|A+(n-2)X|-|(n-1)X|+C(n-1,n-3)|A+(n-3)X|+C(n-1,n-2)|(n-2)X|
-C(n-1,n-4)|A+(n-4)X|-C(n-1,n-2)|(n-3)X|+C(n-1,n-5)|A+(n-5)X|+C(n-1,n-4)|(n-4)X|
-・・・+(-1)^(n+1)C(n-1,0)|A|+(-1)^(n+1)C(n-1,1)|X|]
という風に変形できるので実数値だとわかります。
例 n=3なら、f(X)=(1/3!)[|A+2X|-2|A+X|-|2X|+|A|+2|X|]
n=4なら、f(X)=(1/4!)[|A+3X|-3|A+2X|-|3X|+3|A+X|+3|2X|-|A|-3|X|]
といった具合になりますので、
f(A)=(1/3!)[|3A| -3|2A| +3|A|] = (1/3!)(27-24+3)|A| =(1/3!)(6|A|)=|A|
f(A)=(1/4!)[|4A| -4|3A| +6|2A| -4|A| ] =(1/4!) (256-324+96-4)|A| = |A|
となります。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月１６日付け）
あと一歩のところまで来ている感触ですが、地味なところで引っかかっています。この f(X)
ですが、もっと簡単に、f(X)= 1/n det(X) tr(X-1A) となるようです。
これから、f(kA)= kn-1det(A) なので、正数は全て取りうることは明らか。逆について、1/n
と det(X) はもちろん正なので、あとは tr(X-1A) が正であることさえ示せれば値域は正数全
てと証明できることになります。（．．．が、これが予想外の難渋。）
たぶん簡単な見落としをしているだけだと思うのですが……。
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月１７日付け）
下記のような性質は役に立ちませんかね。
A、Bが正値エルミートなら、
(i) (1/n)tr(A)≧|A|^{1/n}
(ii) tr(AB)=Σ_{i,j=1}a_{ij}b_{ij}≧n|A|^{1/n}|B|^{1/n}
(iii) f(X)のXにBを代入すると、f(B)=(1/n)tr((B~)A) (ここで,B~は余因子行列)
(iv) (tr(|A^{-1}|))A=|A^{-1}|tr(A).
が思いつきましたが．．．。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月１７日付け）
(ii)を使えばいけそうですが、どこから証明できるんでしたっけ？
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月１７日付け）
これは、Bは転置しないと成分が合致しませんよね。
tr(ABｔ)=tr(Σ_{k=1..n}a_{ik}b_{jk})=Σ_{l=1..n}Σ_{k=1..n}a_{lk}b_{kl}=Σ_{i,j=1..n}a_{ij}b_{ij}で
不等式の箇所は
tr(ABｔ)=λ_1+λ_2+…+λ_n (ここで、λ_1,λ_2,…,λ_nはABｔの固有値)
≧n(λ_1λ_2…λ_n)^{1/n} (相加・相乗平均より)
=n|ABｔ|^{1/n} (性質 "detM=λ_1λ_2…λ_n (λ_1,λ_2,…,λ_nはMの固有値)")
=n|A|^{1/n}|Bｔ|^{1/n}
=n|A|^{1/n}|B|^{1/n}.
で如何でしょうか?
DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月１７日付け）
相加相乗平均使うには、ABｔの固有値が全て正である必要がありますが、それって保証さ
れるんでしたっけ？AとBｔが正値エルミートでもABｔは一般にはエルミートですらないですよね。
（この辺りの計算は数年ぶりなのでいろいろ忘れている……。）
たぶん解けました。説明不足がありましたら適宜補完してやってください。誤りがありました
らご指摘願います。
転置しようがしまいが det は変わらないので、
f(X)=1/n[det(a_1,x_2,…,x_n)+det(x_1,a_2,x_3,…,x_n)+…+det(x_1,x_2,…,x_{n-1},a_n)] としてから
考えます。n≧2 とします。
det(a_1,x_2,…,x_n)=det(XX-1)×det(a_1,x_2,…,x_n)=det(X)det(X-1(a_1,x_2,…,x_n))
ここで、X-1(a_1,x_2,…,x_n) は1列目以外は単位行列と等しくなるので、det(X-1(a_1,x_2,…,x_n))
は X-1(a_1,x_2,…,x_n) の11成分に等しく、それはすなわち、X-1A の11成分となります。つまり、
det(a_1,x_2,…,x_n)=det(X)×「X-1A の11成分」
他の項も同様に計算すると、結局、f(X)=1/n det(X) tr(X-1A) となります。
ここで、tr(X-1A)＞0 を示します。
Aは正値エルミート行列なので、 (A^(1/2))^2=A を満たす平方根 A^(1/2) が存在します。
このとき、A^(1/2) はエルミート行列で、X-1は正値エルミート行列なので、任意のベクトルx
に対して、
x*A^(1/2)X-1A^(1/2)x=(A^(1/2)x)*X-1(A^(1/2)x)＞0
が成り立ちます。
よって A^(1/2)X-1A^(1/2) は正値エルミート行列で、tr(A^(1/2)X-1A^(1/2))＞0 となります。
一方、tr(A^(1/2)X-1A^(1/2))=tr(X-1A^(1/2)A^(1/2))=tr(X-1A) なので、tr(X-1A)＞0
もちろん 1/n＞0 と det(X)＞0 ですから、f(X)=1/n det(X) tr(X-1A) > 0 は任意の正値エル
ミート行列Xについて満たされます。
逆に、kを任意の正実数として、kA は正値エルミート行列で、
f(kA) = 1/n ( kn-1 det(A) ×n ) = kn-1 det(A)
なので、適切なkを選べば f(X) の値を任意の正実数にすることができます。
以上より、f(X) の値域は (0,∞) であることが示されました。
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月１８日付け）
凄いです！DD++さんのご指摘の通りです。
tr(A^(1/2)X-1A^(1/2))=tr(X-1A^(1/2)A^(1/2))
だけクリアできません。ここはどうされたのしょうか?
DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月１８日付け）
任意の n×n 正方行列A、Bについて、tr(AB)=tr(BA) を用いました。この証明はお手元の
書籍なり wikipedia なりをご参照ください。
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月１８日付け）
完璧です！どうも有難うございました。
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月１９日付け）
お忙しいところ、たびたびすみません。
今回の f が単射である事を調べています。f(X)=1/n tr(AX-1)|X|とい風に書ける事は分かっ
たので、これから f(X)=f(Y)⇒X=Y を示してます。一般性を失わずに、
1/n tr(AX-1)|X|=1/n tr(AY-1)|Y| ⇔ 1/n tr(AX)|X-1|=1/n tr(AY)|Y-1|
だから、 tr(AX)|X-1|=tr(AY)|Y-1|⇒tr(AX/|X|)=tr(AY/|Y|)⇒tr(AX/|X|)-tr(AY/|Y|)=0
⇒tr(AX/|X|-AY/|Y|)=0⇒tr(A(X/|X|-Y/|Y|))=0⇒X/|X|-Y/|Y|=0
に帰着し、X/|X|=Y/|Y| なら X=Y? を示す事になると思います。X、Yが正値エルミートだか
らX=Yとなりそうなのですが、簡単そうで証明ができません。どうすればいいのでしょうか?
DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月１９日付け）
そもそも成立しないように思います。fって、 C^(n(n+1)/2) → R ですよね……？
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月１９日付け）
あっと、そうでしたか。Ｃ^{n(n-1)/2}×R^nですね。正値性が効いてきませんかね?
DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月１９日付け）
X を A の正実数倍でない n×n 正値エルミート行列とします。正実数 k を
k={f(X)/|A|}^(1/(n-1)) で定め Y=kA とすると、明らかに Y は正値エルミート行列 かつ X≠Y
ですよね。このYについて、f(Y) を計算してみてください。
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月１９日付け）
そうですね。XはAの正定数倍ではないとしてるので、X≠Yですね。
今、Y={nf(X)/|A|}^(1/(n-1))A だから、f に代入してみると、
f(Y)=1/n tr(AY-1)|Y|=1/n tr[A({nf(X)/|A|}^(1/(n-1))A)-1]|{nf(X)/|A|}^(1/(n-1))A|
=1/n (nf(X)/|A|)^{-1/(n-1)}(nf(X)/|A|)^{n/(n-1)}|A|
= 1/n (nf(X)/|A|)|A|
= f(X)
で単射ではありませんね。なるほどです。今回のfは、AとXについて値が定まりますので、つ
まり、Aによって色々な写像fが定義される。実は、下記の事を主張したかったのでした。
C^{n×n}∋∀Hは正値エルミートに対して、f_H(X):=1/n tr(HX-1-1)|X| と定めると、
任意の正値エルミートHについて、 f_H(X)=f_H(Y) ⇒ X=Y が成り立つ。
これなら真ですよね。つまり、
[命題] n×n正値エルミートX、Yにおいて、任意の正値エルミートに対して、常に、
tr(HX-1)|X|=tr(HY-1)|Y| が成り立つならば、X=Yでなければならない。
と思います。
証明は、H、Jを正値エルミートで、 tr(HX-1)|X|=tr(HY-1)|Y|、tr(JX-1)|X|=tr(JY-1)|Y|
が成り立ってるとすると．．．と、比較法に持っていこうとしたのですが．．．。
どんなやり方がありますでしょうか?
DD++さんさんからのコメントです。（平成２６年８月２０日付け）
こういうことでしょうか。
1≦i<j≦n とします。E を単位行列とし、B[ij] を E の ij 成分と ji 成分に 1/2 を加えたもの、
C[ij] を E の ij 成分に i/2、 ji 成分に -i/2 を加えたものとします。|Y|/|X| = k (＞0) とおきま
す。
E と B[ij] と C[ij] は正値エルミート行列で、tr(EX-1) = k tr(EY-1) 、
tr(B[ij]X-1) = k tr(B[ij]Y-1) 、tr(C[ij]X-1) = k tr(C[ij]Y-1)
第2式と第3式から第1式を引いて、
tr({B[ij]-E}X-1) = k tr({B[ij]-E}Y-1) 、tr({C[ij]-E}X-1) = k tr({C[ij]-E}Y-1)
よって、 ( X-1_{ij} + X-1_{ji} ) = k( Y-1_{ij} + Y-1_{ji} )
( X-1_{ij} - X-1_{ji} ) = k( Y-1_{ij} - Y-1_{ji} )
すなわち、任意の i＜j について、X-1_{ij} = k Y-1_{ij} 、X-1_{ji} = k Y-1_{ji} となります。また、
D[i] を E の ii 成分に 1 を加えたものとすると、同様に任意の i について
X-1_{ii} = k Y-1_{ii} となり、結局 X-1 = k Y-1 すなわち kX = Y となります。このとき、
tr(HX-1)|X| = tr(HY-1)|Y| = tr(HX-1/k)|kX| = k^(n-1) tr(HX-1)|X|
k＞0 だから、k=1 （n=1の場合は考えなくていいですよね？）
よって X=Y であることが示されました。
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月２０日付け）
大変有難うございます。さすがです。下記のようにして証明したのですが、不等式(*)の証明
が要りますね。DD++さんの証明の方が直接的ですね。
f(X,H):=f_H(X)と書く事にすれば、まず、
f(X,A)^n=1/n(|x_1,x_2,…,x_{n-1},a_n|+|x_1,x_2,…,a_{n-1},x_n|+…+|a_1,x_2,…,x_{n-1},x_n|)^n
≧|X|^{n-1}|A|…(*)
で、XはHの定数倍の時に限り等号成立ですよね。今、任意のHに対して、
f(X,H)=f(Y,H)ですから、不等式(*)にて、H:=Xと採れば、
|X|=f(X,X)=f(Y,X) (∵仮定より)≧|Y|^{(n-1)/n}|X|^{1/n}
と言え、|X|＞0であるから、両辺を|X|で割って、 |X|^{(n-1)/n}≧|Y|^{(n-1)/n} となり、|X|≧|Y|
等号成立は、X=cY (cは定数)という形の時のみ。同様にして、|X|≦|Y| で、従って、|X|=|Y|
然も、X=cY なので、c=1でなければならない。従って、X=Y
以上から、[命題] が示せました。これを踏まえて、
今、n-1個の正値エルミート行列X_1,X_2,…,X_{n-1}に於いて、
g(X_1,X_2,…,X_{n-1},H):=1/n!Σk=0〜n-1 (-1)kΣ{i_1,i_2,…,i_{n-k}}⊂{1,2,…,n}|X_{i_1}+X_{i_2}+…+X_{i_{n-k}}|
と定義する。(因みに,g(X,X,…,X,H)=f(X,H)となります)
例: g(A,B,C)=1/3!(|A+B+C|-|A+B|-|B+C|-|A+C|+|A|+|B|+|C|)
これは、展開すると、
g(A,B,C)=1/3!(|a_1,b_2,c_3|+|a_1,c_2,b_3|+|b_1,a_2,c_3|+|b_1,c_2,a_3|+|c_1,a_2,b_3|+|c_1,b_2,a_3|)
という(3!=)6項の和になりますので、
g(X_1,X_2,…,X_{n-1},H)=1/n!(|x(1)_1,x(2)_2,…,x(n-1)_{n-1},h_n|
+|x(1)_1,x(2)_2,…,h_{n-1},x(n-1)_n|…+|h(1)_1,x(n-1)_2,…,x(2)_{n-1},x(1)_n|)
というn!個の和になります。(但し、(h_1,h_2,…,h_n):=H,(x(k)_1,x(k)_2,…,x(k)_n):=X_k,k=1,2,…,n-1)。
そこで、n-1個の正値エルミート行列X_1,X_2,…,X_{n-1}が与えられた時、
任意の正値エルミートHに対して、g(X_1,X_2,…,X_{n-1},H)=f(X,H)を満たすXが一意的に存在
する事を示したいのですが、なかなかうまくいきません。
ご紹介頂いたf(X,H)=1/n tr(XH-1)|X|から、直ちにX:=(ng(X_1,X_2,…,X_{n-1},H)|H|)^{1/(n+1)}
と求まり、纏めると、
任意の正値エルミートHに対して、f(X,H)=f(Y,H) なら X=Y だから、f の一般化である関数gに
於いても、n-1個の正値エルミート行列X_1,X_2,…,X_{n-1}が与えられれば、任意のHに対して、
f(X,H)=g(X_1,X_2,…,X_{n-1},H)を満たすXが一意的に存在する。
となります。これが最後の最後の質問です。お手数おかけしましてすみません。m(_ _)m
DD++さんさんからのコメントです。（平成２６年８月２１日付け）
最後は、「……を満たす "正値エルミート行列" Xが一意的に存在する」ってことでいいんで
すよね？そういうエルミート行列Xがnが奇数の場合の符号の違いを除いて唯一に存在する
ことは容易に証明できるんですが、正値性の確認が難しい……。
ｈｉｍｅｒｕさんからのコメントです。（平成２６年８月２２日付け）
はい、その通りです。Xは正値エルミートです。つまり、Hは任意なので、XはX_1,X_2,…,X_{n-1}
のみから一意的に決まるという事です。
以下、工事中！
