・グッドスタイン数列 　　　　 　　　　 　 　 　 　 　 　 ＧＡＩ 氏

　自然数ｎをｋの累乗の和（累乗の指数もまたｋの累乗の和で表すことを繰り返し、全ての指数がｋ以下
となるようにする）で表すことは、ｎのｋを底とする遺伝的記法と言われる。

　例えば、ｋ＝２を底として、ｎ＝８＝２³＝２²⁺¹　、ｎ＝１７＝２⁴＋１＝２²²＋１

　次に、ｎのｋを底とする遺伝的記法において、底を１増やした数をB[ｋ](ｎ)で表す。

　例えば、ｎ＝８＝２²⁺¹に対して、B[２](８)＝３³⁺¹＝８１

　　　　　　ｎ＝１７＝２²²＋１に対して、B[２](１７)＝３³³＋１＝３²⁷＋１＝７６２５５９７４８４９８８

　このとき、ｎ＝４に対してのグッドスタイン数列 (Goodstein sequence)

　　　G₀，G₁，G₂，G₃，･････

を次の操作で決める。ここで、ｋ＝２とする。

（１）　ｎ＝４＝２²　なので、G₀＝４（＝ｎ）　とし、B[２](４)＝３³＝２７　である。

（２）　G₁＝B[２](４)−１＝２６　とおく。

（３）　もし、この式に負の係数があれば、式変形を行い負の係数が現れないようにしておく。

　具体的には、

G₀＝２²
G₁＝B[2](G₀)-1=3^3-1=(3^3-1)/(3-1)・(3-1)=(3^2+3+1)*2=2*3^2+2*3+2=26
G₂＝B[3](G₁)-1=2*4^2+2*4+1=41
G₃＝B[4](G₂)-1=2*5^2+2*5=60
G₄＝B[5](G₃)-1=2*6^2+2*6-1=2*6^2+6+5=83
G₅＝B[6](G₄)-1=2*7^2+7+4=109
G₆＝B[7](G₅)-1=2*8^2+8+3=139
G₇＝B[8](G₆)-1=2*9^2+9+2=173
G₈＝B[9](G₇)-1=2*10^2+10+1=211
G₉＝B[10](G₈)-1=2*11^2+11=253
G₁₀＝B[11](G₉)-1=2*12^2+12-1=2*12^2+11=299
G₁₁=B[12](G₁₀)-1=2*13^2+10=348

　　･･････････････　　（この先々は、「Ａ056193」を参照

　このように決めて並ぶ数列　4，26，41，60，83，109，139，173，211，253，299，348，･･･
は、この先いくらでも大きくなっていく様に見える。

　ところが、これが、３・２^402653211−１≒1.21211・１０⁸ まで進むと、「0」になるという。

　即ち、　G_{3・2^402653211-1}＝０　（・・・　信じられない！！！）

（各操作で−１をすることが、この見かけの大きさにごまかされてしまって見えなくなっている
との説明があるにもかかわらずやはり信じられない。）

　なお、ｎ＝１でのスタートでは、G₁　、ｎ＝２でのスタートでは、G₃　、ｎ＝３でのスタートでは、
G₅で、「０」となる。

　実際に、ｎ＝１からスタートして、　G₀＝１＝２⁰　、G₁＝B[2](G₀)-1=3⁰-1=1-1=0

　ｎ＝２からスタートして、　G₀＝2＝2¹　、G₁＝B[2](G₀)-1=3¹-1=2　、G₂＝B[3](G₁)-1=2-1=1
　　　　　　　　　　　　　　　　G₃＝B[4](G₂)-1=1-1=0

　ｎ＝３からスタートして、　G₀＝2¹+1　、G₁＝B[2](G₀)-1=3¹=3　、G₂＝B[3](G₁)-1=4-1=3
　　　　　　　　　　　　　　　　G₃＝B[4](G₂)-1=3-1=2　G₄＝B[5](G₃)-1=2-1=1
　　　　　　　　　　　　　　　　G₅＝B[6](G₄)-1=1-1=0

　ｎ＝４、５、６、・・・　からは気が遠くなるほどのステップはかかるが、いずれも必ず「０」にな
るという。

　ｎ＝４での「０」になるまでのステップ数 ３・２^402653211−１ がどうしたら見つかるのか、サイ
トでいろいろ調べてみましたが、いまいち理解ができませんでした。もし説明できてもらえる
ならお願いしたい。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２６年７月２６日付け）

　3進で222　、4進で221　、5進で220　、6進で22(-1)=215　、7進で214　、8進で213
　9進で212　、10進で211　、11進で210　、12進で21(-1)=20(11)　、・・・　、23進で200
24進で1(-1)(-1)=1(23)(23)　、・・・　、47進で1(23)0　、48進で1(23)(-1)=1(22)(47)
　・・・　、95進で1(22)(0)　、96進で1(21)(95)

　このように書くと、着実に減っていくように見えますね。これを眺めると、

　3進で222　、3×2進で21(3×2-1)　、3×2^2進で20(3×2^2-1)　、
　3×2^3進で1(3×2^3-1)(3×2^3-1)　、3×2^4進で1(3×2^3-2)(3×2^4-1)
　3×2^5進で1(3×2^3-3)(3×2^5-1)

なので、これを続けると、

　3×2^(3×2^3+2)進で1(0)(3×2^(3×2^3+2)-1)
　3×2^(3×2^3+3)進で(0)(3×2^(3×2^3+3)-1)(3×2^(3×2^3+3)-1)

　２桁になりました。さらに続けると、

　3×2^(3×2^3+4)進で(0)(3×2^(3×2^3+3)-2)(3×2^(3×2^4+3)-1)
　3×2^(3×2^3+5)進で(0)(3×2^(3×2^3+3)-3)(3×2^(3×2^5+3)-1)
　3×2^(3×2^3+6)進で(0)(3×2^(3×2^3+3)-4)(3×2^(3×2^6+3)-1)
　　・・・

となりますので、続けると、

3×2^(3×2^3+3×2^(3×2^3+3)+2)進で(0)(0)(3×2^(3×2^3+3×2^(3×2^3+3)+2)-1)

なので、3×2^(3×2^3+3×2^(3×2^3+3)+3)-1進で(0)(0)(0)

すなわち、　３・２^402653211−１ 進で、「０」