3×3のマス目に
[A] 赤か青の何れかの色を各マス目にランダムに塗るとする。このとき次のことを考察願う。
(A-1) 何通りの塗り分け方ができるか？
(A-2) この中で、どこかの2×2の正方形には同色で塗られた正方形が存在することになる
ものは何個存在しているか？
（従って全部のマス目が同色で塗られているものもこれにカウントされる。）
[B] 赤か青か黄のいずれかの色を各マス目にランダムに塗るとする。このとき次のことを考
察願う。
(B-1) どの行、どの列にも異なる色が揃って塗られているのは何個できるか？
（色が重複していない。）
(B-2) どの行、どの列にも同じものが１組存在して塗られているのは何個あるか？
※但し、何れの場合でも回転や裏返しにより重なり合う塗り方も異なるものとして数えて下さい。
らすかるさんが考察されました。（平成２６年８月２日付け）
(A-1) 2^9=512通り
(A-2) 中心が赤だとして、中心と角以外の4箇所が、
全部青→2^4=16通り 、3個青→2^4×4=64通り 、対向の2個だけ青→2^4×2=32通り
隣接の2個だけ青→2^3×4=32通り 、1個だけ青→2^2×4=16通り 、青なし→1通り
よって、2×2の同色がないものが、 (16+64+32+32+16+1)×2=322（通り）なので、条件を
満たす場合の数は、 512-322=190（通り）
(B-1) 端の列が6通り、隣の列が2通りなので、 6×2=12（通り）
(B-2) 条件がイマイチ曖昧なのと、場合分けが多く面倒そうなのでパス
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年８月２日付け）
勝手に創作した問題なので、吟味が曖昧かもしれませんが、(B-1)で１２種類が手にはいる
ので、３色を1,2,3で構成したとすると、この条件(B-2)を満たすものは、
(B-1)の構成で、
(1,2)-->1または2へ統一 、(1,3)-->1または3へ統一 、(2,3)-->2または3へ統一
することで達成できる。そこで、(1,2)-->1 or 2 の変化で調べてみたら、結局異なるものが
12種類作れました。従って、全体では、12*3=36（通り）
実際調査する前では、単純に、12*3*2=72（通り） と思って出題してしまい、後からよくよく
考えていたら重複が起こると気づき、結局手間ひまかかる問題になっていました。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年８月２日付け）
確かにＧＡＩ さんの方法で(B-2)を満たすものを作れますが、(B-2)を満たすもの全部の個
数を求めるのではないのですか？問題文から、
112
112
223
のようなものも含むようにも思えますが、ある一つの色がどの行・列にも2つ（以上？）あると
いうことですか？
111 111
112 とか 111 のようなものは含まないのでしょうか。
122 111
そこらへんが問題文からはっきりわからないのでパスしました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年８月３日付け）
アッ！ありますね。このようなものがあるだろうと一生懸命作っていたんですが、なかなか
作りきらず、また勝手に唯一同じ数の組しかないと思い込んでいました。当然上のようなも
のもありますから混乱しますね。（気持ち的には上記のパターンの個数と思っていました。）
もうこの問題は取り下げて下さい。（小保方さんの遠い間柄より）
先の問題の(A-2)の考え方を、3×3のマス目を３色でランダムに塗る場合に使おうと思って
挑戦してみたが、途中わからなくなったので改めて、
[1] 3×3のマス目を赤か青か黄のいずれかの色を各マス目にランダムに塗るとする。この
中で、どこかの2×2の正方形には同色で塗られた正方形が存在することになるものは
何個存在しているか？
[2] 4×4のマス目を異なる４色でランダムに塗るとき、どの行、どの列にも異なる色が揃っ
て塗られているのは何個できるか？（色が重複していない。）
[3] 3×4のマス目を異なる４色でランダムに塗るとき、どの行、どの列にも異なる色で塗られ
ているのは何個できるか？（色が重複していない。）
を論理的に発見できるための考え方の筋道を教えて下さい。
らすかるさんが考察されました。（平成２６年８月３日付け）
とりあえず、[1]だけ。
[1]は、前の問題で私が書いたような感じで、余事象を考えるのが良いと思います。
中央でも角でもない4マスについて、中央マスとの色の関係であり得るパターンは、
(1) 4マスすべてが中央マスと異なる色
(2) 4マスのうち1マスだけ中央マスと同じ色
(3) 4マスのうち対向の2マスだけ中央マスと同じ色
(4) 4マスのうち隣接の2マスだけ中央マスと同じ色
(5) 4マスのうち3マスが中央マスと同じ色
(6) 4マス全部が中央マスと同じ色
中央の色を一色に固定して、2×2の同色がないものは、
(1)のパターンは、 2^4×3^4=1296（通り）
(2)のパターンは、 4×2^3×3^4=2592（通り）
(3)のパターンは、 2×2^2×3^4=648（通り）
(4)のパターンは、 4×2^3×3^3=864（通り）
(5)のパターンは、 4×2^3×3^2=288（通り）
(6)のパターンは、 2^4=16（通り）
よって求める場合の数は、 3^9-(1296+2592+648+864+288+16)×3=2571（通り）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年８月３日付け）
拙いプログラムですが、PARI/GPで以下のものを走らせると
? {t=0;}
for(a1=0,2,for(a2=0,2,for(a3=0,2,
for(a4=0,2,for(a5=0,2,for(a6=0,2,
for(a7=0,2,for(a8=0,2,for(a9=0,2,
if(a1+a2+a4+a5==0 || a1+a2+a4+a5==4 || a1+a2+a4+a5==8 ||
a2+a3+a5+a6==0 || a2+a3+a5+a6==4 || a2+a3+a5+a6==8 ||
a4+a5+a7+a8==0 || a4+a5+a7+a8==4 || a4+a5+a7+a8==8 ||
a5+a6+a8+a9==0 || a5+a6+a8+a9==4 || a5+a6+a8+a9==8,t++))))))))))
;print(t)
で実行したら、「13629」を返してきた。(A-2)も
for(a1=0,1,for(a2=0,1,････
if(a1+a2+a4+a5==0 || a1+a2+a4+a5==4 ||
a2+a3+a5+a6==0 || a2+a3+a5+a6==4 ||
a4+a5+a7+a8==0 || a4+a5+a7+a8==4 ||
a5+a6+a8+a9==0 || a5+a6+a8+a9==4 ,t++))))))))))
;print(t)
を実行することで、「190」だったので安心していました。
私も見よう見まねで、
? 3*(3^4*2^4+4*2^3*3^4+2*3^4*2^2+4*2*3^3*2^2+4*3^2*2^3+2^4)
%46 = 17112
? 3^9-17112
%47 = 2571
なるものは出していたんですが、「13629」の方を信じたので「？」を感じていました。どこが変
なんでしょうか？．．．分かりました！
a1+a2+a4+a5==4 ||
a2+a3+a5+a6==4 ||
a4+a5+a7+a8==4 ||
a5+a6+a8+a9==4
の部分がおかしい。（２＋２＋０＋０＝２＋１＋１＋０＝･･･などが取り込まれていた。）ここを
すべて 積==1 に変更して走らせたら、バッチリ「2571」が返ってきました。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年８月３日付け）
[2]について、1行目は24通りで、1行目を1234として、2行目は、
「2個のループ×2のパターン」が、4-1=3（通り） ・・・ (2143,3412,4321)
「4個のループのパターン」が、(4-1)!=6（通り） ・・・ (2341,2413,3142,3421,4123,4312)
「2個のループ×2のパターン」の場合、2行目を2143とすると、3行目は3412,3421,4312,4321
の4通り
「4個のループのパターン」の場合、2行目を2341とすると、3行目は3412,4123の2通りのみ
従って、全部で、 24×(3×4+6×2)=576（通り）
[3]は、[2]の最後の1行を抜いただけなので、[2]と同じく、576通り
