・　全ての点が交点である曲線　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

直感的に、我々は、交点をイメージできるが、は 　　たして、どのような性質を持つものが、「交点」と認 　　識されるのであろうか？ 　　　左図において、点Ａ、Ｂ を端点といい、点Ｐ、Ｑ 　　を交点という。これら以外の点を、一般点という。 　　　端点とは、その点を中心として、半径の十分小 　　さい円を描いたとき、その円が曲線を１回だけ切 　　るときをいう。 　　　交点とは、その点を中心として、半径の十分小 　　さい円を描いたとき、その円が曲線を３回以上切 　　るときをいう。

　一般点とは、その点を中心として半径の十分小さい円を描いたとき、その円が曲線を２回
切るときをいう。

　常識的に考えて、交点だけからなる曲線は存在しないように思える。

　この常識を否定的に解決したのが、シェルピンスキー（１９１５年）である。その曲線は、
次のように構成される。

正三角形の各辺の中点を結ん 　で、合同な正三角形に分割する。 　　真ん中の正三角形を除いて、 　さらに、正三角形の各辺の中点 　を結んで、合同な正三角形に分 　割する。このような分割を、無限 　に続ける。 　　このときできる曲線が、交点ば 　かりからなる曲線の例を与える 　らしい。ただし、最初の三角形の 　頂点は省いて考える。 　　左図は、最初の正三角形の分 　割を、３回繰り返した図である。 　　緑色の線が、該当の曲線であ 　るが、これが所要の性質を本当 　に持つのかどうか、イメージする 　ことは難しい。

　上の操作で、曲線のことを考えず、ただひたすら分割を繰り返して、真ん中の正三角形
を除く操作を続けると、フラクタル図形では有名な、「シェルピンスキーのギャスケット」が
得られる。
　どちらも、我々凡人には計り知れない「妖しい図形」である。

（参考文献：Ｅ．Ｐ．ノースロップ　著　松井政太郎　訳　ふしぎな数学（みすず書房）
　　　　　　　高安秀樹　著　フラクタル（朝倉書店））