次の等式群を眺めて、
(-119)^3+(140)^3+(-98)^3=(343)^2 、(-1430)^3+(2262)^3+(-2028)^3=(17576)^2
(-8127)^3+(16632)^3+(-15876)^3=(250047)^2 、(-31124)^3+(78740)^3+(-76880)^3=(1906624)^2
(16632)^3+(-8127)^3+(-3969)^3=(2000376)^2 、(17464)^3+(-17205)^3+(-4107)^3=(405224)^2
(-76616)^3+(77165)^3+(-18605)^3=(1815848)^2
(4789512)^3+(-1062152)^3+(-529984)^3=(10417365504)^2
(4834305)^3+(-2113972)^3+(-1039682)^3=(10119744747)^2
(4946994)^3+(-3127410)^3+(-1478412)^3=(9340607016)^2 、･･･････････････････････････
(17)^3+(-20)^3+(14)^3=(-7)^3 、(55)^3+(-87)^3+(78)^3=(-26)^3
(129)^3+(-264)^3+(252)^3=(-63)^3 、(251)^3+(-635)^3+(620)^3=(-124)^3
(4112)^3+(-1025)^3+(-511)^3=(4088)^3 、(4224)^3+(-2064)^3+(-1008)^3=(4032)^3
(4528)^3+(-3153)^3+(-1455)^3=(3880)^3 、(5120)^3+(-4352)^3+(-1792)^3=(3584)^3
(6096)^3+(-5745)^3+(-1935)^3=(3096)^3 、(531495)^3+(-39367)^3+(-19682)^3=(531414)^3
････････････････････････････････
(-5831)^3+(6860)^3+(-4802)^3=(343)^4 、(-966680)^3+(1529112)^3+(-1370928)^3=(17576)^4
(-32256063)^3+(66012408)^3+(-63011844)^3=(250047)^4
(-478562624)^3+(1210706240)^3+(-1182106880)^3=(1906624)^4
(4502499310764000)^3+(-562606406373375)^3+(-281200199450625)^3=(549353259000)^4
(4494752162381824)^3+(-1120408795340800)^3+(-558564775043072)^3=(546540875776)^4
(4473332177797600)^3+(-1661128787770413)^3+(-822379004433363)^3=(538955684072)^4
(4430017710784512)^3+(-2164667745042432)^3+(-1057163317346304)^3=(524386566144)^4
(4354209949398496)^3+(-2603972341603435)^3+(-1243281732416405)^3=(500944540888)^4
(6461069731492584079872000)^3+(-159532135681415823872000)^3
+(-79765842700025896960000)^3=(4052532276269568000)^4
････････････････････････････････
そこで、X3＋Y3＋Z3＝W5 を探してほしい。
らすかるさんが考察されました。（平成２６年７月７日付け）
a≦b≦c、b≧0、a+b≠0、a+c≠0 として、a3+b3+c3=d5 となるものを、-100≦a≦b≦c≦100
の範囲で探しただけで、
(-20)^3+(2)^3+(6)^3=(-6)^5 、(-12)^3+(2)^3+(14)^3=(4)^5 、(-84)^3+(2)^3+(38)^3=(-14)^5
(-36)^3+(4)^3+(24)^3=(-8)^5 、(-15)^3+(5)^3+(5)^3=(-5)^5 、(-50)^3+(5)^3+(51)^3=(6)^5
(-9)^3+(6)^3+(8)^3=(-1)^5 、(-24)^3+(6)^3+(18)^3=(-6)^5 、(-41)^3+(6)^3+(33)^3=(-8)^5
(-24)^3+(8)^3+(64)^3=(12)^5 、(-12)^3+(9)^3+(10)^3=(1)^5 、(-48)^3+(11)^3+(21)^3=(-10)^5
(6)^3+(12)^3+(18)^3=(6)^5 、(-8)^3+(15)^3+(17)^3=(6)^5 、(-4)^3+(18)^3+(30)^3=(8)^5
(-66)^3+(18)^3+(68)^3=(8)^5 、(-45)^3+(21)^3+(42)^3=(-6)^5 、(-48)^3+(24)^3+(40)^3=(-8)^5
(-72)^3+(24)^3+(48)^3=(-12)^5 、(-66)^3+(26)^3+(64)^3=(-6)^5 、(27)^3+(27)^3+(27)^3=(9)^5
(-70)^3+(30)^3+(60)^3=(-10)^5 、(18)^3+(30)^3+(60)^3=(12)^5 、(15)^3+(30)^3+(90)^3=(15)^5
(-50)^3+(30)^3+(95)^3=(15)^5 、(4)^3+(32)^3+(60)^3=(12)^5 、(-24)^3+(36)^3+(60)^3=(12)^5
(-90)^3+(37)^3+(88)^3=(5)^5 、(-17)^3+(39)^3+(89)^3=(15)^5 、(-56)^3+(40)^3+(48)^3=(-4)^5
(39)^3+(40)^3+(86)^3=(15)^5 、(-60)^3+(45)^3+(51)^3=(6)^5 、(-88)^3+(46)^3+(82)^3=(-8)^5
(-62)^3+(49)^3+(87)^3=(14)^5 、(-93)^3+(54)^3+(85)^3=(-8)^5 、(49)^3+(57)^3+(77)^3=(15)^5
(-89)^3+(57)^3+(80)^3=(-6)^5
こんなにありました。3乗や4乗でも小さい値の物が多数あるようですが、もしかして全部列挙
ではなく大きいものを探したいということですか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年７月７日付け）
ワァオッ！普通に探してもいっぱい見つけられますね。実は、恒等的に、
{a2(a6-b3)(2b3+a6)}3+{-b(a6-b3)(2a6+b3)}3+{-b(a6-b3)2}3={a3(a6-b3)3}2
{a3(a9+2b3)}3+{-b(2a9+b3)}3+{-b(a9-b3)}3={a3(a9-b3)}3
{a4(a12-b3)3(a12+2b3)}3+{-b(a12-b3)3(2a12+b3)}3+{-b(-a12+b3)4}3={a3(a12-b3)3}4
なる等式が成立することに驚愕して次のパターンについての探索での問でした。これってど
こまでつくれますか？
DD++さんからのコメントです。（平成２６年７月８日付け）
上記のタイプの恒等式でよければ、3の倍数乗以外はいくらでも。
{a(a^3+b^3+c^3)}^3+{b(a^3+b^3+c^3)}^3+{c(a^3+b^3+c^3)}^3={(a^3+b^3+c^3)^2}^2
{a(a^3+b^3+c^3)}^3+{b(a^3+b^3+c^3)}^3+{c(a^3+b^3+c^3)}^3=(a^3+b^3+c^3)^4
{a(a^3+b^3+c^3)^3}^3+{b(a^3+b^3+c^3)^3}^3+{c(a^3+b^3+c^3)^3}^3={(a^3+b^3+c^3)^2}^5
{a(a^3+b^3+c^3)^2}^3+{b(a^3+b^3+c^3)^2}^3+{c(a^3+b^3+c^3)^2}^3=(a^3+b^3+c^3)^7
{a(a^3+b^3+c^3)^5}^3+{b(a^3+b^3+c^3)^5}^3+{c(a^3+b^3+c^3)^5}^3={(a^3+b^3+c^3)^2}^8
一般的に、
{a(a^3+b^3+c^3)^n}^3+{b(a^3+b^3+c^3)^n}^3+{c(a^3+b^3+c^3)^n}^3=(a^3+b^3+c^3)^(3n+1)
{a(a^3+b^3+c^3)^(2n+1)}^3+{b(a^3+b^3+c^3)^(2n+1)}^3
+{c(a^3+b^3+c^3)^(2n+1)}^3={(a^3+b^3+c^3)^2}^(3n+2)}
