・恐るべし和算　　　 　　 　　 　　 　　　 　 　　 　 　 ＧＡＩ 氏

　△ＡＢＣで内部の任意の点をＰとし、

　　ＢＣ＝a、ＣＡ＝b、ＡＢ＝c、ＡＰ＝p、ＢＰ＝q、ＣＰ＝ｒ

とするとき、次の関係式が成立する。

a²ｐ²(b²+c²-a²+q²+ｒ²-p²)+b²q²(c²+a²-b²+ｒ²+p²-q²)+c²ｒ²(a²+b²-c²+p²+q²-ｒ²)＝a²b²c²+a²q²ｒ²+b²p²ｒ²+c²p²q²

　一見長ったらしく、めんどくさそうな関係式ですが、図に書いてそれぞれの部分を辿ってい
くと、とっても調和がとれて均整が整っています。

　一生の間に三角形の図形には何度でも目にするはずですが、背後にこんな関係式が潜
んでいることを、よくも発見するものだと感心します。

　和算ではこれを六斜術とよんで他に利用していたそうです。

　確かに、Ｐを外心に選べば、p=q=ｒ=R　(外接円の半径）　となり、Ｒが三辺 ａ、ｂ、ｃ の関
係式で表せ、ヘロンの公式と組み合わせると、Ｓ＝abc/４Ｒ　の関係式が導ける。

さらに点Ｐを三次元的に平面ＡＢＣの上方にとるとき、三角錐ＰＡＢＣの体積Ｖが

(12Ｖ)²= a²ｐ²(b²+c²-a²+q²+ｒ²-p²)+b²q²(c²+a²-b²+ｒ²+p²-q²)+c²ｒ²(a²+b²-c²+p²+q²-ｒ²)-
(a²b²c²+a²q²ｒ²+b²p²ｒ²+c²p²q²)

の関係式（オイラーの公式）で繋がれることはさらなる驚きです。