楕円に関し、求めたいものがあるのでその筋に詳しい方の解法を教えて下さい。
平面上の一直線上にない３点A、B、Cの△ABCで、各辺の中点で接する内接している楕円
の焦点が知りたい。
[1] A(5，3)、B(-7，1)、C(2，-4) [2] A(5，1)、B(1，3)、C(-6，-4)
の場合で求めてもらえませんか？
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２６年６月１６日付け）
２０１３年２月頃の話題（１、２）を参照ください。
→ 「The Proof of Marden's Theorem」、「The Most Marvelous Theorem in Mathematics」
楕円とは、「二つの焦点からの距離の和が一定となるような曲線」に倣えば、
Sqrt[(x - Sqrt[2/3] 337^(1/4) Cos[1/2 ArcTan[16/9]])^2 + (y -Sqrt[2/3] 337^(1/4) Sin[1/2 ArcTan[16/9]])^2]
+Sqrt[(x + Sqrt[2/3] 337^(1/4) Cos[1/2 ArcTan[16/9]])^2 + (y +Sqrt[2/3] 337^(1/4)Sin[1/2 ArcTan[16/9]])^2]
== (1/Sqrt[6])(Sqrt[39 + 4 Sqrt[337] -2 Sqrt[6] 337^(1/4) (5 Cos[1/2 ArcTan[16/9]] + Sin[1/2 ArcTan[16/9]])]
+ Sqrt[39 + 4 Sqrt[337] + 2 Sqrt[6] 337^(1/4) (5 Cos[1/2 ArcTan[16/9]] + Sin[1/2 ArcTan[16/9]])])
飯高先生も驚愕しておられます。（→ 参考）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月１７日付け）
結局どれが結論ですか？確認したいと思っていることは、
[1]での内接楕円が、私の計算では、ｘｙ軸上に長軸、短軸があるようになるが、それでいい
のか？ただし、焦点の座標を出せないでいる。
[2]での内接楕円は、図の通りにはなるのだが（楕円の偏角約30.3211度)、焦点の座標が
f(ｘ)=(ｘ-(5+i))(ｘ-(1+3・i))(ｘ-(-6-4・i)) (iは虚数単位） と定義した f の f’(ｘ)=0 から求まる
２つの解
((12-√14)+8・i)/3，((12+√14)+8・i)/3
と辻褄が合わないことに悩んでいます。その辺をご配慮の上アドバイスをよろしく。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年６月１７日付け）
単なる計算間違いでは？ここによると、正しそうな値になりますよ。因みに、根号の中に虚
数が入らない形で２解を表すと、
±{√(3√337+27)/3+i√(3√337-27)/3} つまり、２焦点は、
(±√(3√337+27)/3，±√(3√337-27)/3) （複号同順）
※追記 一般の３点 (a，b)、(c，d)、(e，f) で求めると、f(ｘ)=(ｘ-(a+b・i))(ｘ-(c+d・i))(ｘ-(e+f・i))
のとき、
f'(ｘ)=(ｘ-(a+b・i))(ｘ-(c+d・i))+(ｘ-(c+d・i))(ｘ-(e+f・i))+(ｘ-(e+f・i))(ｘ-(a+b・i))
=ｘ2-(a+b・i+c+d・i)ｘ+(a+b・i)(c+d・i)+ｘ2-(c+d・i+e+f・i)ｘ+(c+d・i)(e+f・i)+ｘ2-(e+f・i+a+b・i)ｘ+(e+f・i)(a+b・i)
=3ｘ2-2((a+c+e)+(b+d+f)・i)ｘ+(ac+ce+ea-bd-df-fb)+(ad+bc+cf+de+eb+fa)・i
これの解は、
ｘ=((a+c+e)+(b+d+f)・i±√(((a+c+e)+(b+d+f)・i)2-3((ac+ce+ea-bd-df-fb)+(ad+bc+cf+de+eb+fa)・i)))/3
=((a+c+e)+(b+d+f)・i±√(a2+c2+e2-b2-d2-f2-ac-ea-ce+bd+fb+df+(2(ab+cd+ef)-ad-bc-cf-de-eb-fa)・i))/3
となり、ここから虚数単位を取り除いて2焦点の座標に直すと、
(g/3±√((r+k)/18)，h/3±s√((r-k)/18)) （複号同順）
ただし、
g=a+c+e 、h=b+d+f 、k=g2-h2+3(bd+df+fb-ac-ce-ea) 、m=3(ab+cd+ef)-gh 、r=√(k2+m2)
sは、m≧0 のとき、1、m＜0のとき、-1
という公式が出来ます。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年６月１７日付け）
f(ｘ)=(ｘ-(5+i))(ｘ-(1+3・i))(ｘ-(-6-4・i)) (iは虚数単位） と定義した f の f’(ｘ)=0 から求まる
２つの解 ((12-√14)+8・i)/3，((12+√14)+8・i)/3
について、f に、二次項はありません。ということは、f'=0 は一次項がない二次方程式になる
ので、その２解はちょうど符号を変えた数になっていなければおかしいですね。たぶんここが
原因！というか、こういうふうに計算を楽にするために重心を原点にしたのではないのですか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月１７日付け）
的確な御指摘を受け、道を誤った部分に反省を加えることによって、ようやく言わんとする
現象を確認することができました。
２次式 f(ｘ)=(ｘ-a)(ｘ-b) に対し、導関数 f'(ｘ) の零点は、a、b の中点では、３次式
f(ｘ)=(ｘ-a)(ｘ-b)(ｘ-c) に対し、その導関数 f'(ｘ) の零点は、a、b、c を複素数として点A、B、C
を表すとき、複素平面上の△ABCについて、どのような幾何学的意味を持つかという問題意
識で探った時、この中点で接する楕円の焦点に辿り着いたというガウスの発見の記事を読ん
だとき、改めて史上最大の知性の凄さを感じました。
当時まだ複素数なるものが数学界に浸透していないうちに、この数を自由自在に駆使して、
代数的世界と幾何的世界を縦横に行き来できる境地にいたことが驚きです。（凄い人って本当に凄い。）
ならば、f(ｘ)=(ｘ-a)(ｘ-b)(ｘ-c)(ｘ-d) においても、f'(ｘ)の零点にも何かしら幾何的構造が備わっ
ているのでしょうね。もし御存知の方がおられましたらお知らせ下さい。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２６年６月１７日付け）
上記の記事は何処にありますか?書籍でしょうか?
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月１７日付け）
一松 信 著 「現代に活かす初等幾何入門」（岩波書店）
（2003/11/27 第１刷発行：ISBN4-00-005454-6)
の９４ページを御覧下さい。
また、らすかるさんに作って頂いた公式を、任意の a、b、c、d、e、f （でもほんの一部です。）
に渡って走らせ、焦点の座標が、せめて有理数に収まるものの検索をかけてみました。
（圧倒的に無理数が入るものばかりで、中には凄まじい桁数のものになります。）
その中で、比較的穏やかな焦点に納まることになる三角形ABCは
A(1，5)、B(6，2)、C(6，10) → F(4，4)、F’(14/3，22/3)
A(1，5)、B(6，0)、C(6，14) → F(6，10)、F’(4，8/3)
A(1，6)、B(2，-2)、C(6，10) → F(4，8)、F’(2，4/3)
A(1，6)、B(3，2)、C(7，10) → F(5，8)、F’(7/3，4)
A(1，6)、B(7，2)、C(8，10) → F(6，7)、F’(14/3，5)
A(1，6)、B(9，-2)、C(8，10) → F(7，2)、F’(5，22/3)
A(1，7)、B(5，1)、C(7，10) → F(14/3，8)、F’(4，4)
また、
A(1，5)、B(8，2)、C(8，10) → F((17+√7)/3，(17+√7)/3)、F’((17-√7)/3，(17-√7)/3)
のような座標であるものが拾えました。（もちろんほんの一部です。）
「訂正分」 sをm>0で1,m<0で-1とするSign[m]関数で処理してしまったので、円の場合はまち
がっていました。m=0の時が間違ってしまいました。その部分を削除しました。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２６年６月１７日付け）
ありがとう御座います。所持しておりません．．．。「Van den Berg の定理」(1888) とも云う
ようです。多くの人が、独立に発見かも．．．。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月１７日付け）
私もいろいろサイトで調べる中で、どこがどう違うのかわかりませんが、「Marden's theorem」
とか「Bocher's theorem」とか「Steiner inellipse」など、なにか関連ありそうな呼び名に出会い
ました。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２６年６月１７日付け）
Marden定理
