札幌で高校教員をされているというＳ．Ｋ．さんから、平成２６年５月２６日付けでメールを
頂いた。ちょっと忙しかったので返信が遅れたことをお詫び申し上げます。
（以下、文言等を一部修正・加筆させていただきました。ご了解ください。）
同僚の先生から、
ｎ≧３とする。パスカルの三角形において、
ｎ2−１段目に等差数列が現れ、しかも、この場合に限る
という問題をもらい、次のように考えてみました。この結果についてのご意見を伺えれば幸
いです。
定 理 ｎ≧３ とする。パスカルの三角形に等差数列が現れるのは、ｎ2−１段目であり、
この場合に限る。
より具体的には、 n2-2Ｃk-1 、n2-2Ｃk 、n2-2Ｃk+1 （ただし、ｋ＝（n2±n-2)/2)
例 ｎ＝３ のとき、ｋ＝２、５ で、7Ｃ1＝７、7Ｃ2＝２１、7Ｃ3＝３５ ・・・ 等差数列
7Ｃ4＝３５、7Ｃ5＝２１、7Ｃ6＝７ ・・・ 等差数列
従って、パスカルの三角形の８段目に、等差数列
・・・、７、２１、３５、・・・、３５、２１、７、・・・
が垣間見える。
ｎ＝４ のとき、ｋ＝５、９ で、14Ｃ4＝１００１、14Ｃ5＝２００２、14Ｃ6＝３００３ ・・・ 等差数列
14Ｃ8＝３００３、14Ｃ9＝２００２、14Ｃ10＝１００１ ・・・ 等差数列
従って、パスカルの三角形の１５段目に、等差数列
・・・、１００１、２００２、３００３、・・・、３００３、２００２、１００１、・・・
が垣間見える。
（コメント） 「等差数列が現れる」とはいうものの、「差が一定な３数が現れる」と言った方が
自然かも．．．。しかも、それらはパスカルの三角形の至る所に分布していて、あ
まり有り難みがないかな？
（証明） ｎ2−１段目に存在する等差数列を実際に構成してみる。
n2-2Ｃk+1−n2-2Ｃk＝n2-2Ｃk−n2-2Ｃk-1 より、
（ｎ2−ｋ−１）（ｎ2−ｋ−２）−（ｎ2−ｋ−１）（ｋ＋１）＝（ｎ2−ｋ−１）（ｋ＋１）−ｋ（ｋ＋１）
すなわち、 （ｎ2−ｋ−１）（ｎ2−２ｋ−３）＝（ｎ2−２ｋ−１）（ｋ＋１） より、
４ｋ2−４（ｎ2−２）ｋ＋ｎ4−５ｎ2＋４＝０
これをｋについて解くと、ｋ＝（ｎ2±ｎ−２)/２ が得られる。
ここで、特に、ｎ≧３ の場合、（ｎ2±ｎ)/２ は整数であるから、このようなｋは整数として存在
し、条件を満たす２項係数は確かに存在する。
（条件を満たすことについては、ｋに代入して確かめればよい。）
等差数列は、ｎ2−１段目にのみ存在することを、背理法で証明する。
Ａ（≠ｎ2−１)段目に等差数列が存在すると仮定すると、上記と同じ方法で、ｋに関する２次
方程式 4ｋ2−4（A−１）ｋ＋A2−３A＝０ を得る。条件から、この方程式は自然数解を持つ
はずである。
他方、この方程式の解は、ｋ＝｛Ａ−１±√（Ａ＋１）｝/２ で、Ａ＋１ は平方数でなければい
けないが、このことは、Ａ≠ｎ2−１ という仮定に反し、矛盾する。
従って、パスカルの三角形に等差数列があらわれるのは、ｎ2−１段目に限る。 （証終）
