・フェルマー　　　　 　　 　 　　　 　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　「フェルマー」と題して、平成２６年５月７日付けで、当ＨＰ読者のＨＮ「Ｈ」さんよりメールを
頂いた。「よろしければ、ご指摘頂けないでしょうか」とのことだったので、少し検討してみた。

　メールに添付された証明は次の通り。（一部文言等を補充してあります。）

　Y、ｍ は有理数とする。

　p が奇素数 のとき、Y^p=( X + m )^p - X^p の有理数解Ｘはない。

（証明）　Y^p＝２^p(Y/２)^p＝( X＋ｍ )^p−X^p　・・・　（１） と式変形しておく。

　いま、　２^p＝(ａ＋１)^p−ａ^p　・・・　（２）　と書けるとする。（ａは実数）

（１）式に（２）式を代入すると、

　Y^p＝{ (ａ＋１)^p−ａ^p }(Y/２)^p＝(ａY/２＋Y/２ )^p - (ａY/２)^p＝( X＋ｍ )^p −X^p

　比較して、　X＝ａY/２　、ｍ＝Y/2　と思ってよい。

　ａが有理数ならば、ａY/２も有理数。ａ が無理数ならば、ａY/２も無理数となる。

　ここで、ａが有理数と仮定すると、（２）式の両辺の分母を揃えて、分子を比較すると左辺は
偶数、右辺は奇数となる。

　よって、ａは無理数となる。したがって、X＝ａY/２ も無理数となる。

故に、p が奇素数 のとき、Y^p＝( X＋ｍ )^p−X^p の有理数解はない。

※（１）（２）式の「２」は任意の偶数とすることができる。
※（２）式の右辺を展開して分母を揃えると、分子の和が奇数となる理由。
　(A) a =奇数/偶数, (B) a =偶数/奇数 , (C) a =奇数/奇数 とする。
　(A) の場合、初項の分子は奇数、他の項の分子の和は偶数となる。
　(B) の場合、末項の分子は奇数、他の項の分子の和は偶数となる。
　(C) の場合、末項の分子は奇数、他の項の分子の和は偶数となる。
　　よって、分子の和は奇数となる。
※Y^p=( X + m )^p - X^p 、Y^p=( X₀ + m₀ )^p - X₀^p 、Y^p=Y^p　
　よって、( X + m )^p - X^p=( X₀ + m₀ )^p - X₀^p
　　Y^p=( X₁ + m₁ )^p - X₁^p 、Y^p=Y^p
　よって、　( X + m )^p - X^p=( X₁ + m₁ )^p - X₁^p =( X₀ + m₀ )^p - X₀^p


（コメント）　「２^p＝(ａ＋１)^p−ａ^p」は、ｐ＝３のとき調べれば確かに、ａは無理数となるのだが、
　　　　　　それが一般的に言えるかどうか確証が持てない。特に上記の証明の下線部分が
　　　　　　本当に言えるのかどうか確証が持てない。どなたか検証をお願いいたします。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月２０日付け）

　「比較して、　X＝ａY/２　、ｍ＝Y/2　と思ってよい。」としていますが、「X=aY/2, m=Y/2 と
仮定すると、Y^p=(X+m)^p-X^p の有理数解はない」というだけのことではないでしょうか。

　(X，m) が (aY/2，Y/2) 以外の場合に有理数解が存在しないことが証明されていないよう
に思います。


　Ｈさんより続報を頂きました。（平成２６年５月１７日付け）

　p が奇素数のとき、X^p + Y^p = Z^p の自然数解はない。

　Y、ｍ は整数、X は実数( 全て正)とする。

　X^p + Y^p = Z^p を、Z = X + m とおいて、Y^p = (X + m)^p - X^p　とする。

　Y^p を固定して、m を替えても、X と、(X + m)^p の有理数, 無理数は変わらない。・・・（イ）
　偶数^p = ( X + 1 )^p -X^p の X に有理数を代入すると、分子は全て奇数となる。・・・（ロ）
　奇数^p = ( X + 2 )^p-X^p のX に有理数を代入すると、分子は全て偶数となる。・・・（ハ）

　両辺の分子が等しくならないので、X は有理数ではない。無理数である。

　Y^p を固定して（ロ） と（ハ） のm を替えても、（イ） により、X の無理数は変わらない。

　よって、Y^p = (X + m)^p - X^p の、X の有理数解はない。

　したがって、p が奇素数のとき、X^p + Y^p = Z^p の自然数解はない。

（イ） の証明：　Y^p = (X + m)^p - X^p = 偶数^p(Y/偶数)^p
　　　　　　　　偶数^p=(X₀ + 1)^p - X₀^p とすると、X₀は（ロ）により無理数となる。

　　　　　Y^p=(X+m)^p-X^p={(X₀+1)^p-X₀^p }(Y/偶数)^p=｛(X₀Y/偶数）+Y/偶数)^p−(X₀Y/偶数）^p

　　　　　よって、X = X₀Y/偶数・・・無理数、m = Y/偶数・・・有理数となる。

　「Y^p を固定してm を替えても、」にあたるのが、m = Y/偶数とすることである。そうすると、
Xは、X₀Y/偶数 となる。・・・無理数

　mが、Y/奇数の場合は、（ハ）による。整数⊂ Y/偶数、整数⊂ Y/奇数なので、Y^p を固定
してm を全ての整数に替えてもX は無理数となる。


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月２４日付け）

　Z = X + m （m は整数）とおいていますが、これでは、一般性を失っています。

　（ハ）は、成立しません。例えば、p=3 のとき、X=1/2を代入すると、31/2になり右辺の分子
は奇数です。

　　Y^p=(X+m)^p-X^p={(X₀+1)^p-X₀^p }(Y/偶数)^p=｛(X₀Y/偶数）+Y/偶数)^p−(X₀Y/偶数）^p
　　よって、X = X₀Y/偶数・・・無理数、m = Y/偶数・・・有理数となる。

　前回と全く同じミスをされています。ａ^p - ｂ^p = ｃ^p - ｄ^p だからといって、ａ = ｃ、ｂ = ｄ とは
限りません。例えば、12³-10³=9³-1³、16³-15³=9³-2³　など。