3!-2!+1!=5 :prime
4!-3!+2!-1!=19 :prime
5!-4!+3!-2!+1!=101 :prime
6!-5!+4!-3!+2!-1!=619 :prime
7!-6!+5!-4!+3!-2!+1!=4421 :prime
････････
さて、どこまで上手く続くかな？あなたは100までをチェックしてみたくなる〜！
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月１９日付け）
類題です。
f(3)=3!-2!+1!=5、f(4)=4!-3!+2!-1!=19、f(5)=5!-4!+3!-2!+1!=101、f(6)=6!-5!+4!-3!+2!-1!=619
f(7)=7!-6!+5!-4!+3!-2!+1!=4421、・・・ のようにしたとき、f(m)とf(n)が互いに素でない最小のn
は？（ただし3≦m＜n）
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１９日付け）
8以降は・・・
f(8)=35899、f(9)=326981、f(10)=3301819、f(11)=36614981 ←最初の非素数、f(12)=442386619
f(13)=5784634181、f(14)=81393657019、f(15)=1226280710981、f(16)=19696509177019
f(17)=335990918918981、f(18)=6066382786809019、f(19)=115578717622022981
f(20)=2317323290554617019、f(21)=48773618881154822981、f(22)=1075227108896452857019
f(23)=24776789629988523782981、f(24)=595671612103250915577019
f(25)=14915538431227735068422981
（→ 参考：「A005165」）
f(13)=5784634181とf(17)=335990918918981が公約数47でした。よって、ｎ＝17
GAI さんからのコメントです。（平成２６年５月２０日付け）
確認願います。
f(3)=5 、f(4)=19 、f(5)=101 、f(6)=619 、f(7)=4421 、f(8)=35899 、f(9)=326981=79*4139
f(10)=3301819、f(11)=36614981=13*2816537、f(12)=442386619=29*15254711
f(13)=5784634181=47*1427*86249、f(14)=81393657019=23*73*211*229751
f(15)=1226280710981、f(16)=19696509177019=53*6581*56470483
f(17)=335990918918981=47*7148742955723、f(18)=6066382786809019=2683*2261044646593
f(19)=115578717622022981、f(20)=2317323290554617019=8969*210101*1229743351
f(21)=48773618881154822981=113*167*4511191*572926421
f(22)=1075227108896452857019=79*239*56947572104043899
f(23)=24776789629988523782981=85439*289993909455734779
f(24)=595671612103250915577019=12203*24281*2010359484638233
f(25)=14915538431227735068422981=59*555307*455254005662640637
（コメント） ｎ＝８までは素数で、ｎ＝９〜２５はすべて合成数だったんですね！
らすかる さんからのコメントです。（平成２６年５月２０日付け）
次に出てくる公約数は？と思って調べてみると、n=30でまた「47」が出てきますね。47以外
では、n=25 と n=38 の「59」でしょうか。nまでにｎ以下の素因数で出現していないものがあれ
ば、それ以降ではもう出てくることはありませんので、「出現する素因数」が限られますね。
5，13，19，23，29，37，47，… （この数列は数列サイトにはないようです）
「n≧k のとき、f(n)はkで割り切れる」を満たすようなk＞1は存在するのでしょうかね。
GAI さんからのコメントです。（平成２６年５月２０日付け）
この素数値有限問題は、p=3612703 がすべての ｎ≧ｐ なるすべてのｎに対しf(n) を割るこ
とをミオドラグ・ジュヴコヴィッチ(M. Zivkovic)（あ〜発音しにくい〜）が解決したらしいです。
＜参考＞ 「THE NUMBER OF PRIMES Σｉ=1〜ｎ(-1)n-ii! IS FINITE」
らすかる さんからのコメントです。（平成２６年５月２０日付け）
なるほど、f(n)の形の素数が有限個ということもわかるのですね。f(n)の形の素数が何個あ
るかはわかっているのでしょうか？
GAI さんからのコメントです。（平成２６年５月２１日付け）
方々探しましたが、わかりませんでした。例のサイトの「A001272」、「A071828」あたりが参
考になるとは思います。
らすかる さんからのコメントです。（平成２６年５月２１日付け）
ありがとうございます。f(2653)以降は確率的素数に過ぎない、と書かれていますので、確定
している素数はたったの15個しかないようですね。
GAI さんからのコメントです。（平成２６年５月２１日付け）
1：f(3)=5 、2：f(4)=19 、3：f(5)=101 、4：f(6)=619 、5：f(7)=4421 、6：f(8)=35899
7：f(10)=3301819 、8：f(15)=1226280710981 、9：f(19)=115578717622022981
10：f(41)=32656499591185747972776747396512425885838364422981
11：f(59)=136372385605079432248118270297843987319730859689
490659519593045108637838364422981
12：f(61)=499395599150088488088828589263699706832570087241
364247806476254829684637838364422981
13：f(105)=10711958183891841060413772226231143151744046529952900268619
771694670513552183077610443374304047715125032391586472569038
38408052353602736923780521178553460637838364422981
14：f(160)=46854407749206593671205204471893994868754333054697771997601
741812995587666340613116437703045055157584009984395710513648
023787101741915804363545075671208876913354442672203316516887
832832281956677938152898188228554160925648116662233137470200
0809600061055686236758821446539362161635577019
15：f(661)=78180972728751116637630466194895763863766280419237991030800
208961385961215361219096683982321152617505600376898048406363
110104039227149107644404014253731858301016464970840105583550
489039968532086262414402379152586075641563020380681613969139
855697663283465172625830216038512394277417199976742161290884
411090515279263024120901083031435663500993587854436981358362
108778260130553947927992847184780729927777458240942311032211
702942287642522605334695739611795681167403321510153730856346
002440542607152472937902620336930243208395567823569045574947
340640008625625880661835074121675105116458718022998793391118
368782373321588436944266960538592371788656769419887521623778
774614465781670290940044057242751920179675097931073163805126
820708268605597593808568066423453299635410920653953790576373
369844411290601407716724509085803969547646133215202424271737
195330578411748287578876148290329955489086727480583117739663
442356774442543833918482588254509999771884130549143773283037
778274863010942852406659039681973862919392825108368954581279
401138481943983634475362744951553351607538878554177725103097
504571475780399062713718241763510544562072175460801802886633
127893337632195056750546104454069287272423066067556999532314
921789024722428108927762425139972452359109753174276161330564
333597579222885228542796212273661299475731304466088440634826
982562310742154838414305455987799652521859637667837585720035
134425382637176515120390071274432342319534771824949348992232
671737320669075559142869586236773623153545229025756360076330
064079311170108811386813281629563503804159389443137632411785
53460637838364422981
てなところですかね。どなたか
f(2653)、f(3069)、f(3943)、f(4053)、f(4998)、f(8275)、f(9158)、f(11164)
での真偽を！（これらの数字の大きさを想像するだけで戦闘意欲を失います。）
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月２１日付け）
「Wolfram Alpha」も正確な値を出してはくれないようです。(Exact form をクリック！）
偶数な訳がないですからね．．．。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月２１日付け）
正確な値が表示されていると思います。Σの始値が0になっていますので、
「2653!-2652!+2651!-…+3!-2!+1!-0!」であり、これは偶数です。自作電卓でも計算しましたが、
値は正確でした。
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月２１日付け）
ありがとうございます。素数かどうかは分かりませんが．．．。
GAI さんからのコメントです。（平成２６年５月２２日付け）
f(n)=n!-(n-1)!+(n-2)!-･････+1! （n:odd) 、f(n)=n!-(n-1)!+(n-2)!-･････-1! (n:even)
で定義されたf(n)が、
f(1)=1 、f(2)=1 、f(3)=5 、f(4)=19 、f(5)=101 、f(6)=619 、f(7)=4421 、f(8)=35899
f(9)=326981 、f(10)=3301819 、f(11)=36614981 、f(12)=442386619 、f(13)=5784634181
f(14)=81393657019 、f(15)=1226280710981 、f(16)=19696509177019 、f(17)=335990918918981
f(18)=6066382786809019 、f(19)=115578717622022981 、f(20)=2317323290554617019、･･････
なる値をとっていくが、S(n)=Σk=1〜nπk/f(k) で定義しておくと、
S(1)=3.141592653589793238462643383 、S(2)=13.01119705467915185729713438
S(3)=19.21245239073911589239239740 、S(4)=24.33924665568661258904715175
S(5)=27.36914452484781509659904591 、S(6)=28.92227730929903389632476391
S(7)=29.60544700569731303396652064 、S(8)=29.86975885327163471443473913
S(9)=29.96092347547734762028097913 、S(10)=29.98928603789402855311640006
S(11)=29.99732111014966868569234474 、S(12)=29.99941038939507772051268269
S(13)=29.99991235324962025954502061 、S(14)=30.00002442796791956060139798
S(15)=30.00004779793999264495730348 、S(16)=30.00005236891345975956768403
S(17)=30.00005321073550809515568749 、S(18)=30.00005335721198910512951549
S(19)=30.00005338136491281836100911 、S(20)=30.00005338514943301536111787
････････････････
と S(n)→30.00005･･･ （ n→∞) になることがさらに不思議でした。
(円周率はいろいろな所に顔を出すものだ！）
GAI さんからのコメントです。（平成２６年５月２２日付け）
なお、f(2653)、f(3069)、f(3943)、f(4053)、f(4998)、f(8275)、f(9158)、f(11164)
での真偽を、Wolfram Mathematica 9.0 を使って素数判定を行ってみたら、すべてtrue の判
定が返ってきました。ちなみに、f(11164)。
