ｘ、ｙ、ｚ が自然数であるとき、ｘ3＋ｙ3＋ｚ3＝６ｘｙｚ を満たす (ｘ，ｙ，ｚ) は？
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１２日付け）
解はあるのでしょうか。左辺は偶数でなければならないので、
（偶数）（偶数）（偶数）・・・（１） または （偶数）（奇数）（奇数）・・・（２）
（１）の場合、ｘ、ｙ、ｚをそれぞれ２で割れば新しい解になり、いつかは（２）になるので、（２）
のケースだけ考えればよさそうです。
よおすけさんからのコメントです。（平成２６年５月１２日付け）
(ｘ，ｙ，ｚ)＝(1，2，3)、(1，3，2)、(2，1，3)、(2，3，1)、(3，2，1)、(3，1，2)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１２日付け）
YIさん、すばらしい推理です。全部で６種類存在していますので、幸運を祈ります。
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１２日付け）
簡単な解を見逃していました。ｘ＜ｙ＜ｚ とすると、(1，2，3)
ｘ、ｙ、ｚ を等倍すると、新しい解が得られます。（マルコフ数のときはこうはいきませんでした）
よって、解は、 (1，2，3)、(2，4，6)、(3，6，9)、・・・ など。
ほかのパターンも存在するかもしれないので、少し調査してみます。手動プログラムで探し
たところ、x≦10 の範囲では新しい種類の解は無いということがわかりました。厳密には証明
しなければなりませんが、ほぼ確実です。
＜調査の詳細＞
（２）のケースだけを調査するために、ｘ を偶数、ｙ、ｚ を奇数の範囲で自由に動かせるよう
に設定。ｘ、ｙ を固定し、ｚ を動かす。多くの場合、最初は左辺が大きく、zを大きくすると右辺
が大きくなり、さらに大きくすると、左辺が大きくなり、そのあとは差が増え続ける。そうなると、
一致は望めないので、ｙ を大きな数に変える。また、ｙ が大きくなるとそのうち右辺が左辺を
超えなくなる。そうなったら、一致は望めないので、ｘ を大きくする。
ｘ＝10 まで調べたが、(1，2，3)系以外に解はなし。この方法だと、さらに続けるとかかる時
間が増大すると思われる。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月１３日付け）
(ｘ，ｙ，ｚ)＝(1，2，3)は当たり前すぎて面白くないので他の数字を探しました。
ｘ＝5275 、ｙ＝1817 、ｚ＝3258
所要時間、手計算で約２時間。疲れた……。
（コメント） DD++さん、お疲れ様でした！
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月１３日付け）
gcd(ｘ，ｙ，ｚ) ＝１ （x≦y≦z） として、
(ｘ，ｙ，ｚ)
＝(1，2，3)、(1817，3258，5275)、(4904676969，10840875082，15051171563)、
(29381282043563909553，46875396961726681714，81821352777652044467)、
(214674741825814609600406026499153，518752964649250744517842481308050，
666161010410184261713443501009747)、
・・・・・・・・・
となるようです。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１３日付け）
ようすけさん、YIさん、DD++さん、らすかるさん、私の不用意な出題に関わって頂いてあり
がとうございます。実は、勝手にマルコフ数的性質は他の問題では構成できぬものかと適当
にディオファントス方程式を作って、数値計算をコンピュータにやらせて観察していたものの
中から形的に均整が整ったこの問題を出題したのでした。
解の検索範囲を１０００位で見ていたら、どうも (Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝(1，2，3) 以外に無さそうと思い、
この順列６通りを解答として準備していました。
ところが、なんとDD++さんが手計算（!!!）で、1000のオーダーを越えるものを発見され、らす
かるさんに至ってはべらぼうな範囲の検索より、世界中の誰もが知らない解を探し出されて
こられて、現在腰が抜けて立てない状態にいます。
いやはや数字の世界は広大無限無窮の何が潜んでいるのか判らない魔界であるのです
ね。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月１３日付け）
整数問題では、係数に比べてやたら大きい解になることも珍しくないですからね。
ｘ2−61ｙ2＝１ が最たる例の一つでしょうか。（最小自然数解が(1766319049，226153980) ）
なので機械計算で有限範囲を探索して他に解がなさそうと断ずるのは危険です。
で、おそらく気になっていらっしゃるでしょうから、あの解を見つけた種明かし。
ｘ3+ｙ3+ｚ3=6xyz を、z≠0という仮定のもと変形すると、 (ｘ/ｚ)3+(ｙ/ｚ)3-6(ｘ/ｚ)(ｙ/ｚ)+1=0
よって、ｘ3+ｙ3+ｚ3=6xyz の整数解は、X3+Y3-6XY+1=0 の有理数解(X，Y)が求まれば、
ｘ-Xｚ=ｙ-Yｚ=0 となる整数 ｘ、ｙ、ｚ として出てくるはずです。
それで、(n，2n，3n) と (n，-n，0) の入れ替え9種はすぐに見つかり、(n，-n，0) を除く8解
に対応する点は、
(X，Y)=(2，3)、(3，2)、(1/2，3/2)、(3/2，1/2)、(1/3，2/3)、(2/3，1/3)、(0，-1)、(-1，0)
(2，3)と(3/2，1/2)を通る直線は、Y=5X-7。これと、X3+Y3-6XY+1=0 を連立して、解と係数
の関係を用いると、残りの1つの解は、(19/21，-52/21)。ただし、(19n，-52n，21n) は自然数
解でないので見送り。
(19/21，-52/21)と(2/3，1/3)を通る直線は、Y=-(59/5)X+41/5。これと、X3+Y3-6XY+1=0 を
連立して、解と係数の関係を用いると、残りの1つの解は、(1817/3258，5275/3258)。
よって、自然数解 (1817n，5275n，3258n) が得られます。
同じように、直線をいっぱい引けば、らすかるさんの書かれた解も多分全部出てきます。し
かし、無限に作れるかどうかはわかりません。S(H)さんが日々出題されているあたりの話に
つながるはずですが、私はまだ理解しきれていないので、どなたかこの辺の話に詳しい方に
バトンタッチをお願いしたく．．．。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１３日付け）
楕円曲線 X3+Y3-6XY+1=0 上の有理点 (2，3)と(1817/3258，5275/3258)を結ぶ直線
Y=4499/4699*X+5099/4699 が再び楕円曲線と交わる点(-3096807/2847511，124904/2847511)
を求め、さらに、これと有理点(2/3，1/3)を通る直線Y=107513/651541*X + 145505/651541
が再び楕円曲線と交わる交点を計算すると、
(15051171563/10840875082，4904676969/10840875082)
がとれて、これから自然数解(15051171563，4904676969，10840875082)が決まりました。
ｘ＜ｙ＜ｚ で整理すれば、(4904676969，10840875082，15051171563)とDD++さんの指摘通
りに、らすかるさんが求められている数値と一致しました。
楕円曲線上での有理点の性質は整数解の挙動を決定づける関係にあり、しかも楕円曲線
上での有理点の居場所は面白いように幾何的に確認しながら作業していける性質を持って
いるんですね。フェルマーの予想を証明したワイルズさんも楕円曲線の特質をフル活用した
んでしょうね。
グラフを描いて作業していましたが、曲線を１０本ほど引いていくともうほとんど見分けがつ
かなくなるくらい接近した状態になり、どの点とどの点をつなげば新しい交点が作れる直線が
可能になるかを見極めるのが困難になっていきました。それに循環する解の点もグラフ上３
パターン出現するので、もう作図している画面がごちゃごちゃしてきました。無限にとれるのか
な？
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１３日付け）
左辺が６の倍数であることから、x3を６で割った余りを調べてみると、
x≡0 なら、x3≡0 (mod 6) 、x≡1 なら x3≡1 (mod 6) 、x≡2 なら x3≡2 (mod 6)
と続き、「xを６で割った余りとx3を６で割った余りは一致する」が成り立ちます。
「xをbで割った余りとxaをbで割った余りは一致する」を(a，b)と書くことにすると、(7，42)など
の驚きのものもありました。
最初のほうを調べた感じだと、一般にaが奇数のとき、bはある程度大きくなるようですが、
この先はどう続くのでしょうか。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月１３日付け）
b=2 で必ず成り立つと思いますが、「bはある程度大きくなる」ということは何か（a≦bのよう
な）条件を付けているのでしょうか。
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１３日付け）
bが30とか42とか予想を遥かに上回る大きさになることがあったのでこう書きました。どれ
くらい大きくなるかは、調べてみなければわかりませんが、11乗とかになると手元の関数電
卓やVBでは無理そうです。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月１３日付け）
30や42は果たして大きいんですかね？直感的には、aが素数の場合はむしろbがもっと大
きくなるのが自然な気がしますが．．．。a=13でb=2730とか。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月１４日付け）
せっかくなので、a≦50を全て求めてみました。多分こう。比較的大きなbを素因数分解して
みればけっこう単純なパターンが見えると思います。
aを2以上の自然数とする。任意の整数xについて、xa≡x (mod b) を満たす最大の自然数
bを求めよ。
a=2Nのとき、b=2 、a=3のとき、b=6 、a=5のとき、b=30 、a=7のとき、b=42 、a=9のとき、b=30
a=11のとき、b=66 、a=13のとき、b=2730 、a=15のとき、b=6 、a=17のとき、b=510
a=19のとき、b=798 、a=21のとき、b=330 、a=23のとき、b=138 、a=25のとき、b=2730
a=27のとき、b=6 、a=29のとき、b=870 、a=31のとき、b=14322 、a=33のとき、b=510
a=35のとき、b=6 、a=37のとき、b=1919190 、a=39のとき、b=6 、a=41のとき、b=13530
a=43のとき、b=1806 、a=45のとき、b=690 、a=47のとき、b=282 、a=49のとき、b=46410
やはり、12N+1型素数が強い。30N+1型素数も大きくなりやすいので、両方を満たすa=61は
すごいことになりますね。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月１４日付け）
「A027760」ですかね。「A141056」の第２項以降とも一致するようなので、
n≧2に対して、ベルヌーイ数：B(n-1) の分母と同じということですね。前者には、
n=10000までの表があり、これによると、10001まででは、a=8401のときの
b=30721852291400450355987797336504062619723310330260297070
が最大ですね。
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１５日付け）
これって、x8401-x は、30721852291400450355987797336504062619723310330260297070
を必ず約数に持つということですよね。驚きです。
付け足しになりますが、
（１） ｎが奇数のとき、６を法にして、xn ≡ x が成り立つ。
（２） ｎが偶数のとき、６を法にして、xn ≡ x2 が成り立つ。
（１）は、ｎ=3 を証明すれば、数学的帰納法により明らか。ｎが偶数のとき、（１）より、
xn = xn-1・x = x・x =x2 なので、（２）が成り立つ。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１６日付け）
8400の約数：
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35, 40, 42, 48, 50, 56, 60, 70,
75, 80, 84, 100, 105, 112, 120, 140, 150, 168, 175, 200, 210, 240, 280, 300, 336, 350, 400,
420, 525, 560, 600, 700, 840, 1050, 1200, 1400, 1680, 2100, 2800, 4200, 8400]
が非常に多く存在し、このそれぞれに+1をしたものが素数になるものを集めると、
[2,3,5,7,11,13,17,29,31,41,43,61,71,101,113,151,211,241,
281,337,401,421,601,701,1051,1201,2801,4201]
従って、 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+････+1/4201 の計算の分母を求めることに相当するの
で、結局、2*3*5*7*11*････*4201 の計算をすることになり、
30721852291400450355987797336504062619723310330260297070
という大きな数字になるようです。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１４日付け）
累乗の普遍性の法則を利用すれば、例えば、今年にちなんで、ｘ3＋ｙ3＋ｚ3＝2014 を満た
す整数(ｘ，ｙ，ｚ)を探し出すことには利用できませんかね？
これに係わらず、一般に、この解を導き出せる方法を教えて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月１４日付け）
「A060465」「A060466」「A060467」や関連ページを眺めてみると、ｘ3＋ｙ3＋ｚ3＝33、42、74、…
など解が見つかっていないものが多数あるようですから、少なくとも「一般的に効率よく解く方
法」はなさそうです。せいぜい、ある程度工夫して片っ端から当たっていくぐらいでしょう。
ｘ3＋ｙ3＋ｚ3＝2014 の解を、ちょっとだけ探してみました。ｘ≦ｙ≦ｚ で、ｘ の大きい順です。
(-9，-1，14)、(-1171，-903，1328)、(-29877，11060，29363)、(-89863，-76363，105402)
DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月１４日付け）
おおう、まさにそのものが用意されてましたか。ベルヌーイ数との関連には驚きました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１４日付け）
この部分について、いろいろなサイトを参照して調べてみると、ｘ3＋ｙ3＋ｚ3＝d (d：自然数)
を満たす整数(ｘ，ｙ，ｚ) (x＜y＜z) についての問題設定で、d≡±4 (mod 9) では解が存在
しないことが証明されており、d＜1000 で未だ解が見つかっていないものが、
｛33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975｝
の１４個あるという。これらは、mod 9 では、
33≡6 、42≡6 、74≡2 、114≡6 、165≡3 、390≡3 、579≡3 、627≡6 、633≡3
732≡3 、795≡3 、906≡6 、921≡3 、975≡3
となっている。そこで、どうしても気にかかるのが、「74」の場合であり、未だ解が発見されて
いない中でも特異な一個として残されている。
