角が６つのグラフを描いてみました。： x4y2 + 2x3y3 + x2y4 = 10
上の係数２を少しでもずらすと形が変わってしまいます。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月６日付け）
角が６つならば、 x6-6x4y2+9x2y4=10 にするときれいですね。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月６日付け）
同じ手法で、x10-20x8y2+110x6y4-100x4y6+25x2y8=10 とすると10個の角ができますね。
この方法で奇数個のものはうまくできるでしょうか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月６日付け）
(x2+y2)2+3x2y-y3=0 (-1＜x＜1)
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月６日付け）
x6-6x4y2+9x2y4=10 を極方程式に直すと、ｒ={20/(1+cos(6θ))}^(1/6) となり、
x10-20x8y2+110x6y4-100x4y6+25x2y8=10 を極方程式に直すと、
ｒ={20/(1+cos(10θ))}^(1/10)
となりますので、一般に、ｒ={20/(1+cos(nθ))}^(1/n) とすれば角がｎ個になりますね。
よって、例えば、ｒ={20/(1+cos(5θ))}^(1/5) とすれば角が奇数個になります。
ｒ={20/(1+cos(5θ))}^(1/5) を直交座標の方程式に直すと、
25x8y2-100x6y4+40x5+110x4y6-400x3y2-20x2y8+200xy4+y10 = 400
となりますので、これが角が５個の式です。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月７日付け）
私が気になっていたのは、この部分の処理で、偶数個の場合は、r2=x2+y2 と rcosθ=x で
そのまま全て処理できるのですが、奇数個の場合は、ｒが1つ余るため両辺２乗する処理が
必要になります。
ところが、方程式で両辺２乗するというのは、一般には同値変形ではなく、例えば、直線
y=x の両辺を２乗した y2=x2 は２直線になりますし、円 y2=1-x2 は両辺２乗すると、円+双曲
線に、と描く曲線が増えるはずです。
r(x2+y2)2=20-x5+10x3y2-5xy4 は果たして両辺２乗してしまって大丈夫なのでしょうか？
一般の奇数次の場合には？
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月７日付け）
一般の奇数次も含め、両辺２乗して大丈夫です。
r={20/(1+cos(nθ))}^(1/n) から、rn(1+cos(nθ))=20 より、rn=20-rn・cos(nθ)
この式の両辺を２乗すると、rn=20-rn・cos(nθ) または rn=-{20-rn・cos(nθ)} と同値になり
ますが、後者の式は、rn=rn・cos(nθ)-20 という常に(左辺)＞(右辺)の式であって、成り立つ
ことがありませんので、２乗しても同値性が崩れません。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月７日付け）
そうか、なるほど、極方程式の状態のまま考えればよかったのですね。すっきりしました。
ありがとうございます。
