ｃｏｓnｘ を一般に、ｃｏｓｋｘ を用いて表すと、
ｃｏｓ1ｘ = ｃｏｓｘ
ｃｏｓ2ｘ = 1/2+1/2ｃｏｓ2ｘ
ｃｏｓ3ｘ = 3ｃｏｓｘ/4+1/4ｃｏｓ3ｘ
ｃｏｓ4ｘ = 3/8+1/2ｃｏｓ2ｘ+1/8ｃｏｓ4ｘ
ｃｏｓ5ｘ = 5ｃｏｓｘ/8+5/16ｃｏｓ3ｘ+1/16ｃｏｓ5ｘ
ｃｏｓ6ｘ = 5/16+15/32ｃｏｓ2ｘ+3/16ｃｏｓ4ｘ+1/32ｃｏｓ6ｘ
ｃｏｓ7ｘ = 35ｃｏｓｘ/64+21/64ｃｏｓ3ｘ+7/64ｃｏｓ5ｘ+1/64ｃｏｓ7ｘ
ｃｏｓ8ｘ = 35/128+7/16ｃｏｓ2ｘ+7/32ｃｏｓ4ｘ+1/16ｃｏｓ6ｘ+1/128ｃｏｓ8ｘ
ｃｏｓ9ｘ = 63ｃｏｓｘ/128+21/64ｃｏｓ3ｘ+9/64ｃｏｓ5ｘ+9/256ｃｏｓ7ｘ+1/256ｃｏｓ9ｘ
ｃｏｓ10ｘ =63/256+105/256ｃｏｓ2ｘ+15/64ｃｏｓ4ｘ+45/512ｃｏｓ6ｘ+5/256ｃｏｓ8ｘ+1/512ｃｏｓ10ｘ
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のように可能であるのに対し、ｓｉｎnｘ をｓｉｎｋｘ で表そうとしてみたら、
ｓｉｎ1ｘ = ｓｉｎｘ
ｓｉｎ5ｘ = 5ｓｉｎｘ/8-5/16ｓｉｎ3ｘ+1/16ｓｉｎ5ｘ
ｓｉｎ9ｘ = 63ｓｉｎｘ/128-21/64ｓｉｎ3ｘ+9/64ｓｉｎ5ｘ-9/256ｓｉｎ7ｘ+1/256ｓｉｎ9ｘ
ｓｉｎ13ｘ = 429ｓｉｎｘ/1024-1287ｓｉｎ3ｘ/4096+715ｓｉｎ5ｘ/4096-143ｓｉｎ7ｘ/2048
+39ｓｉｎ9ｘ/2048-13ｓｉｎ11ｘ/4096+ｓｉｎ13ｘ/4096
ｓｉｎ17ｘ = 12155ｓｉｎｘ/32768-2431ｓｉｎ3ｘ/8192+1547ｓｉｎ5ｘ/8192-1547ｓｉｎ7ｘ/16384
+595ｓｉｎ9ｘ/16384-85ｓｉｎ11ｘ/8192+17ｓｉｎ13ｘ/8192-17ｓｉｎ15ｘ/65536+ｓｉｎ17ｘ/65536
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ｓｉｎ3ｘ = 3ｓｉｎｘ/4-1/4ｓｉｎ3ｘ
ｓｉｎ7ｘ = 35ｓｉｎｘ/64-21/64ｓｉｎ3ｘ+7/64ｓｉｎ5ｘ-1/64ｓｉｎ7ｘ
ｓｉｎ11ｘ = 231ｓｉｎｘ/512-165/512ｓｉｎ3ｘ+165ｓｉｎ5ｘ/1024
-55ｓｉｎ7ｘ/1024+11ｓｉｎ9ｘ/1024-ｓｉｎ11ｘ/1024
ｓｉｎ15ｘ = 6435ｓｉｎｘ/16384-5005ｓｉｎ3ｘ/16384+3003ｓｉｎ5ｘ/16384-1365ｓｉｎ7ｘ/16384
+455ｓｉｎ9ｘ/16384-105ｓｉｎ11ｘ/16384+15ｓｉｎ13ｘ/16384-ｓｉｎ15ｘ/16384
ｓｉｎ19ｘ = 46189ｓｉｎｘ/131072-37791ｓｉｎ3ｘ/131072+12597ｓｉｎ5ｘ/65536-6783ｓｉｎ7ｘ/65536
+2907ｓｉｎ9ｘ/65536-969ｓｉｎ11ｘ/65536+969ｓｉｎ13ｘ/262144-171ｓｉｎ15ｘ/262144
+19ｓｉｎ17ｘ/262144-ｓｉｎ19ｘ/262144
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の様に n=4i+1、4i+3 (i=0、1、2、3、･･･)の場合はなんとか表せると思いますが、n=4i と 4i+2
の場合ができなくて悩んでいます。これに成功された方は知らせて下さい。
りらひいさんからのコメントです。（平成２６年４月２１日付け）
ふと思ったのですが、（実際の計算方法はわきに置いておくとして、結果だけ見れば）おそ
らくこれは、ただフーリエ級数展開してるだけですよね？とすれば、偶関数、奇関数の関係
から、ｓｉｎ2nｘ は、定数とｃｏｓｋｘのみを用いて表すことができるということがいえますね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年４月２１日付け）
りらひいさんの仰る通りですね。
n=4i の時、 ｓｉｎnｘ = (-1)n-k/2n・Σk=0〜n nCkcos{(2k-n)x}
n=4i+2 の時、 ｓｉｎnｘ = (-1)n-k+1/2n・Σ k=0〜n nCkcos{(2k-n)x}
でいけると思います。
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年４月１６日付け）
成功していませんが、Wikipediaを見ると、奇数の場合は必ず公式が作れそうです。逆に、
偶数の場合はできそうに見えないですね。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年４月１６日付け）
ｓｉｎ2nｘ は偶関数ですが、ｓｉｎｋｘ は全て奇関数なので、線型和では不可能だと思います。
チェビシェフ多項式も、ｓｉｎ ｎｔ/ｓｉｎ ｔ と定義して、この辺の問題を回避していますね。
（コメント） 当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんは、上記の逆バージョン、
すなわち、ｎ倍角の公式を一覧にまとめられています。この話題とは特に関係はな
いとは思いますが．．．。
