次の不等式は美しい。北里大学（２０１３）の入試問題である。
ｌｏｇ3２＜ｌｏｇ4３＜ｌｏｇ5４＜ｌｏｇ6５＜ｌｏｇ7６＜ｌｏｇ8７＜ｌｏｇ9８＜ｌｏｇ10９
（証明） Ｆ（ｘ）＝（ｌｏｇ ｘ）/（ｌｏｇ （ｘ＋１）） とおくと、
Ｆ’（ｘ）＝｛（ｌｏｇ （ｘ＋１））/ｘ−（ｌｏｇ ｘ）/（ｘ＋１）｝/（ｌｏｇ （ｘ＋１））2
＝｛（ｘ＋１）ｌｏｇ （ｘ＋１）−ｘ（ｌｏｇ ｘ）｝/｛ｘ（ｘ＋１）（ｌｏｇ （ｘ＋１））2｝＞０
より、 Ｆ（ｘ）＝ｌｏｇｘ+1 ｘ は単調に増加する。
よって、明らかに不等式は成り立つ。 （証終）
